所以砖墙滤波器是具有Sinc函数的卷积，并且具有以下频域特性：
平坦的通带
零阻带
无限的滚降率/无过渡带
由于两个方向上的无限尾巴，因此是无因果且无法实现的。这些IIR滤波器可以对其进行近似，并且随着阶次的增加，近似性也会提高：
Butterworth（最大平坦的通带）
Chebyshev（具有阻带或通带波纹的最大滚降率） ）
椭圆形（具有阻带和通带波纹的最大滚降率）
Legendre（具有单调通带的最大滚降率）
高斯滤波器与高斯函数卷积，并具有以下时域属性：
零过冲
最小上升和下降时间
/>最小群延迟
由于与sinc函数相同的原因而无法实现，并且可以通过这些IIR滤波器近似地估计，随着阶次的增加更接近：
根据1和2的贝塞尔（最大平坦群延迟）
这里贝塞尔滤波器的阶数递增，而我选择的高斯虚线只是因为它似乎符合趋势（$ e ^ {-{1 \ over 2}（\ pi \ omega）^ 2} $）：
所以我的问题是：
到目前为止一切都正确吗？如果是这样，还有其他近似高斯的IIR滤波器吗？它们针对什么进行了优化？
如果您搜索“ IIR高斯”，您会发现一些东西（Deriche？van Vliet？），但是我不知道它们是否真的与贝塞尔（Bessel）或它们是否针对某些其他属性进行了优化等。
#1 楼
Deriche和van Vliet过滤器是启发式的。在这两种情况下，他们都选择极点和零点的位置，以最小化RMS差或高斯滤波器的脉冲响应的最大差。两个滤波器都是因果对因果对。因此，我认为它们没有相位误差或组延迟，但是您需要能够在数据上同时向后运行它们。这使它们在图像处理中很受欢迎，但可能会限制它们在其他地方的应用。
调整它们的大量论文证明了它们是启发式的。例如，谷歌搜索（当我在寻找Deriche论文的链接时）打开了这个搜索，试图解决Deriche高斯导数滤波器没有正好为0的DC响应的问题。关于正确初始化边界条件还存在一些有趣的问题。
我发现以下概述是一个很好的资源：
戴夫·黑尔（Dave Hale），递归高斯滤波器，科罗拉多矿业学院波浪现象中心报告CWP-546。
#2 楼
我想您对离散时间IIR滤波器的现有分析解决方案给出了很好的总结。但是我还将贝塞尔滤波器添加到近似理想频率选择滤波器特性的滤波器列表中。它的幅度响应没有像其他相同阶数的滤波器类型那样显示出急剧的跃迁，但这是您为通带中几乎线性相位付出的代价。因此，贝塞尔滤波器是频率选择性幅度响应和良好相位响应之间的折衷。要用IIR滤波器近似高斯滤波器，除了贝塞尔之外，我不知道任何解析解您提到的过滤器。但是请注意，贝塞尔滤波器并不是要近似于高斯滤波器，因此我不确定在近似这样的滤波器时它到底有多好。如果您真的想要一个IIR滤波器用于此目的，我建议您对高斯滤波器进行数值近似。有几种方法可以做到这一点。
您可以尝试在频域中近似高斯滤波器。问题是您必须对所需的相位响应做出一些决定。具有最小相位响应的纯幅度近似很可能导致非常差的时域特性。如果指定线性期望相位，则会遇到一个复杂的近似问题（因为用幅度和相位来近似复杂的频率响应）。即使这样的逼近问题很难解决，文献中也存在一些方法。
一种更简单，可能更好的方法是在时域逼近高斯滤波器。 Prony的方法将是一个很好的起点。
请注意，这些只是我对此主题的看法。我没有尝试自己设计IIR高斯滤波器。除非有充分的理由反对，否则我实际上会去实施FIR。
编辑：关于贝塞尔滤波器是否近似于高斯的问题，仅作了几点说明。我不知道贝塞尔滤波器在逼近高斯滤波器时会最小化任何有意义的误差准则。我很乐意了解它。人们可能会说贝塞尔滤波器的脉冲响应看起来与高斯相似，或者其频率响应类似于高斯，但是我还没有看到任何证据可以证明贝塞尔滤波器在任何意义上都近似于高斯，并且近似误差为过滤器阶数增加时为零。我不否认它比其他标准滤波器（Butterworth，Chebyshev等）更像高斯滤波器，但这对这个问题并不重要。
请参见下面的四个脉冲响应图以八度设计的贝塞尔滤波器（5、10、15、20阶）（功能besself）。如您所见，在尾部的振铃不会随着滤波器阶数的增加而减少，而且我也看不到这些滤波器如何近似于高斯，如果是这样，则根据哪种最优性准则。但是，如果有人可以启发我，我将非常高兴。
评论
$ \ begingroup $
我从这样的地方得到它：“随着滤波器阶数的增加，贝塞尔-汤姆逊滤波器的脉冲响应趋向于高斯型” robots.ox.ac.uk/~sjrob/Teaching/SP/l3 .pdf“模拟贝塞尔滤波器是高斯滤波器的近似值，随着滤波器阶数的增加，近似值会提高。” dsprelated.com/showmessage/130958/1.php
$ \ endgroup $
– Endolith
2013年6月26日21:38
$ \ begingroup $
...由于高斯的傅立叶变换是高斯的，所以我认为说它像其他方法一样接近砖墙反应是不对的。
$ \ endgroup $
– Endolith
13年6月26日在21:54
$ \ begingroup $
毫无疑问，高斯的傅立叶变换就是高斯。但是，我们谈论的是贝塞尔滤波器，据我所知，贝塞尔滤波器不会以任何有意义的方式逼近高斯。我编辑了答案以添加更多信息。
$ \ endgroup $
– Matt L.
2013年6月27日13:11
$ \ begingroup $
在此问题上添加了更多详细信息。您可以使用相同的Y轴将图重做为线曲线而不是茎吗？看起来它的形状随着顺序而改变，但是很难说出来。
$ \ endgroup $
– Endolith
13年6月28日在4:06
$ \ begingroup $
我尝试计算贝塞尔滤波器的阶数达到60，并使它们的脉冲响应符合高斯的要求，尽管我的代码很粗糙，但它们的确接近高斯，“下冲”减少，误差随阶次减少。十阶：imgur.com/1qNsHeg六十阶：imgur.com/BgmFzZp随着阶数的增加而出错：imgur.com/cpHDDJs但是计算可能是错误的。您是如何计算您的？
$ \ endgroup $
– Endolith
15-10-12在3:15
评论
实际上，当我说“ IIR”时，我认为我的意思是“可物理实现的模拟滤波器”吗？