存在哪些数学工具来理解调制噪声？

#1 楼

我不确定您在这里找什么。噪声通常通过其功率谱密度或等效的自相关函数来描述。随机过程的自相关函数及其PSD是傅立叶变换对。例如，白噪声具有脉冲自相关。

您的示例（虽然不切实际）类似于通信接收器，该接收器在$ 2 \ omega $的载波频率下观察载波调制的白噪声。 。该示例接收机非常幸运，因为它的振荡器与发射机的振荡器相干。在调制器和解调器生成的正弦波之间没有相位偏移，从而可以将“完美”下变频到基带。单靠这并不是不切实际的。相干通信接收机的结构很多。但是，通常将噪声建模为与接收器试图恢复的调制信号不相关的通信信道的附加元素。发射机很少实际将噪声作为其调制输出信号的一部分进行传输。为了获得您描述的结果（至少在原始问题中如此），调制器​​和解调器均具有在相同参考频率和相位下工作的振荡器。调制器输出以下内容：

$$
\开始{align}
n（t）＆\ sim \ mathcal {N}（0，\ sigma ^ 2）\\
x（t）＆= n（t）\ sin（2 \ omega t）
\ end {align}
$$

接收器生成下变频的I和Q信号，如下所示：

$$
\开始{align}
I（t）＆= x（t）\ sin（2 \ omega t）= n（t）\ sin ^ 2（2 \ omega t）\\
Q（t）＆= x（t）\ cos（2 \ omega t）= n（t）\ sin（2 \ omega t）\ cos（2 \ omega t）
\ end {align}
$$

一些三角恒等式可以使$ I（t）$和$ Q（t）$更加充实一些：

$$
\开始{align}
\ sin ^ 2（2 \ omega t）＆= \ frac {1-\ cos（4 \ omega t）} {2} \\
\ sin（2 \ omega t）\ cos（2 \ omega t）＆= \ frac {\ sin（4 \ omega t）+ \ sin（0）} {2} = \ frac {1} { 2} \ sin（4 \ omega t）
\ end {align}
$$

现在我们可以将下变频的信号对重写为：

$$
\开始{align}
I（t）＆= n（t）\ frac {1-\ cos（4 \ omega t）} {2} \\
Q（t）＆= \ frac {1} {2} n（t）\ sin（4 \ omega t）
\ end {align}
$$

输入噪声为零均值，因此$ I（t）$和$ Q（t）$均为零均值。这意味着它们的方差为：

$$
\开始{align}
\ sigma ^ {2} _ {I（t）}＆= \ mathbb {E}（I ^ 2（t））= \ mathbb {E} \ left（n ^ 2（t）\ left [ \ frac {1-\ cos（4 \ omega t）} {2} \ right] ^ 2 \ right）= \ mathbb {E} \ left（n ^ 2（t）\ right）\ mathbb {E} \ left （\ left [\ frac {1-\ cos（4 \ omega t）} {2} \ right] ^ 2 \ right）\\
\ sigma ^ {2} _ {Q（t）}＆= \ mathbb {E}（Q ^ 2（t））= \ mathbb {E} \ left（n ^ 2（t）\ sin ^ 2（4 \ omega t）\ right）= \ mathbb {E} \ left（n ^ 2（t）\ right）\ mathbb {E} \ left（\ sin ^ 2（4 \ omega t）\ right）
\ end {align}
$$

您在问题中注意到$ I（t）$和$ Q（t）$的方差之比。可以简化为：

$$
\ frac {\ sigma ^ {2} _ {I（t）}} {\ sigma ^ {2} _ {Q（t）}} = \ frac {\ mathbb {E} \ left（\ left [\ frac {1-\ cos（4 \ omega t）} {2} \ right] ^ 2 \ right）} {\ mathbb {E} \ left（\ sin ^ 2（4 \ omega t）\ right）}
$$

期望值接管了随机过程$ n（t）$的时间变量$ t $。由于函数是确定性的和周期性的，因此实际上仅等于一个周期内每个正弦函数的均方值；对于此处显示的值，您将获得$ \ sqrt 3 $的比率。在I通道中获得更多噪声功率的事实是噪声的伪像，该噪声是与解调器自己的正弦参考相干（即同相）调制的。根据基础数学，可以预期到此结果。但是，正如我之前所说，这种情况并不常见。

尽管您没有直接询问，但我想指出的是，这种类型的操作（先由正弦载波进行调制，然后再由对载波的相同或几乎相同的复制进行解调是通信系统中的基本构件。然而，一个真正的通信接收机在载波解调之后将包括一个额外的步骤：一个低通滤波器，用于去除频率为4Ω的I和Q信号分量。如果消除双载波频率分量，则I能量与Q能量之比如下所示：

$$
\ frac {\ sigma ^ {2} _ {I（t）}} {\ sigma ^ {2} _ {Q（t）}} = \ frac {\ mathbb {E} \ left（（\ frac {1} {2}）^ 2 \ right）} {\ mathbb {E}（0）} = \ infty
$$

这是相干正交调制接收器的目标：同相（I）通道中的信号被传送到接收器的I信号中，而不会泄漏到正交（Q）信号。

编辑：我想在下面解决您的评论。对于正交接收器，在大多数情况下，载波频率将位于发射信号带宽的中心，因此，典型的通信信号不是在载波频率上限制带宽，而是在区间$ [ omega-\ frac {B} {2}，\ omega + \ frac {B} {2}] $，其中$ B $是其调制带宽。正交接收器旨在将信号下变频为基带，作为初始步骤。这可以通过将I和Q通道视为复数值信号的实部和虚部进行后续分析来实现。

关于循环平稳二阶统计量的评论$ x（t）$，您有一个错误。信号的循环平稳特性在其自相关函数中捕获。令函数为$ R（t，\ tau）$：

$$
R（t，\ tau）= \ mathbb {E}（x（t）x（t-\ tau））
$$

$$
R（t，\ tau）= \ mathbb {E}（n（t）n（t-\ tau）\ sin（2 \ omega t）\ sin（2 \ omega（t-\ tau）） ）
$$

R（t，\ tau）= \ mathbb {E}（n（t）n（t-\ tau））\ sin（2 \ omega t）\ sin（2 \ omega（t-\ tau） ）
$$

由于原始噪声过程$ n（t）$的白度，所有非零值的期望值（以及等式的整个右侧）为零$ \ tau $的值。

$$
R（t，\ tau）= \ sigma ^ 2 \ delta（\ tau）\ sin ^ 2（2 \ omega t）
$$

自相关不再只是零滞后的简单脉冲；相反，由于正弦比例系数，它是时变的和周期性的。这会引起您最初观察到的现象，即$ x（t）$中存在“高方差”期间，而其他方差较低的期间。 “高方差”周期是通过正弦波进行解调来选择的，正弦波与用于对其进行调制的正弦波一致，这是有道理的。