为什么FIR滤波器即使有极点也仍然稳定？

#1 楼

FIR滤波器仅包含零，没有极点。如果滤波器包含极点，则为IIR。 IIR过滤器确实受到稳定性问题的困扰，必须谨慎处理。

编辑：

经过进一步的思考，一些涂鸦和谷歌搜索，我认为我有一个有关FIR极点问题的答案，有望使感兴趣的各方满意。

从看似无极FIR滤波器的Z变换开始：
$$ H（z）= \ frac {b_0 + b_1 z ^ {-1} + b_2 z ^ {-2} + \ cdots + b_N z ^ {-N}} {1} $$
如RBJ的答案所示，FIR极点是通过将$ H（z）$的分子和分母乘以$ z ^ {N} $来显示：
$$ H（z）= \ frac {b_0 z ^ {N} + b_1 z ^ {N- 1} + b_2 z ^ {N-2} + \ cdots + b_N} {z ^ {N}} $$
，从而在通用FIR滤波器的起点处产生$ N $极点。

但是，为了证明这一点，将因果关系的假设放在过滤器上。实际上，如果我们考虑不考虑因果关系的更通用的FIR滤波器，则：
$$ G（z）= \ frac {b_0 z ^ {k} + b_1 z ^ {k-1} + b_2 z ^ { k-2} + \ cdots + b_N z ^ {kN}} {1} $$
原点出现不同数量的极数$（Nk）$：
$$ G（z）= \ frac {b_0 z ^ {N} + b_1 z ^ {N-1} + b_2 z ^ {N-2} + \ cdots + b_N} {z ^ {Nk}} $$

因此，我得出以下结论：


（回答原始问题）通常，FIR滤波器的确有极点，尽管总是在Z平面的原点。因为它们永远不会超出单位圆，所以它们对FIR系统的稳定性没有威胁。
FIR信号的极数对应于滤波器阶次$ N $和因果关系的“度” $ k $。因此，有可能构建没有极点的FIR滤波器，但是这些滤波器是无源的-也就是说，它们对于实时处理是不可想象的。对于正因果$（k = 0）$的$ N ^ {th} $阶FIR滤波器，原点有$ N $个极点。
也许是最简单的方法来构想一个极点是一个简单的延迟元素：
$$ H（z）= z ^ {-1} = \ frac {1} {z} $$
然后可以将典型的FIR滤波器视为非因果滤波器，其后跟随足够的延迟元素以使其成为因果关系。

#2 楼

FIR滤波器包含的极点数与零个数一样多。但是所有极点都位于原点$ z = 0 $。

因为所有极点都位于单位圆内，所以FIR滤波器表面上是稳定的。

这可能不是OP所考虑的FIR滤波器，但是有一类称为截断IIR滤波器（TIIR）的FIR滤波器，它可能在单位圆上或单位圆外具有一个极点，而该极点同时被零抵消。位置。最简单的例子是移动总和或移动平均滤波器。但是，从I / O角度来看，这些TIIR滤波器是FIR。

，但我不会天真地保证“稳定性”。使用控制系统语言，TIIR滤波器不是“完全可观察到的”，并且可能看起来稳定，因为它的脉冲响应的长度有限，但是在滤波器内部，状态可能会陷入困境，并且数值精度有限，内部不稳定性最终将最终消失。出现在输出上。

我们必须摆脱“ FIR滤波器无极点”的观念。不是真的。

#3 楼

“您能从数学上证明FIR滤波器有极点吗，因为我没有看到它。” – Jim Clay

我们可以假定此FIR是因果的吗？

过滤器的顺序为$ N $。抽头数为$ N + 1 $

有限冲激响应：$ \ quad h [n] = 0 \ quad \ forall \ quad n> N，\ n <0 $

FIR的传递函数：

$$ \ begin {align}
H（z）＆= \ sum_ {n =-\ infty} ^ {+ \ infty} h [n] z ^ {-n} \\
＆= \ sum_ {n = 0} ^ {N} h [n] z ^ {-n} \\
＆= \ sum_ { n = 0} ^ {N} z ^ {-N} h [n] z ^ {Nn} \\
＆= z ^ {-N} \ sum_ {n = 0} ^ {N} h [ Nn] z ^ n \\
＆= \ frac {\ sum_ {n = 0} ^ {N} h [Nn] z ^ {n}} {z ^ N} \\
＆= \ frac {h [N] + h [N-1] z + h [N-2] z ^ 2 + \ cdots + h [1] z ^ {N-1} + h [0] z ^ N} { （z-0）^ N} \\
\ end {align} $$

您要做的就是分解分子，然后知道零在哪里。但很明显，所有极点都用于FIR滤波器。极点与FIR滤波器的阶数一样多。请注意，这些极点不会影响频率响应。除了阶段。

#4 楼

实际上，按定义有点。由于您输入了有限的能量，并且滤波器只会最大程度地提供能量输入的倍数（其脉冲响应具有有限的能量），因此生成的信号将最大程度地具有能量输入的倍数。它不会像IIR滤波器那样引起共振并因此升级。这也是Kenneides回答的背后。

#5 楼

没有人真正触及到为什么FIR滤波器的极点是可移动的，所以我尝试在下面回答。

FIR滤波器的原点将具有可移动的极点，因为其脉冲响应的有界性要求。在极点附近，可以定义函数，使其仍然是全纯的（可在其域的每个点上微分）。

黎曼定理是，如果信号在其域的每个点（有限的多个点除外）都是可微分的，则在这些特殊点周围会存在一个有界的函数。在该定理中，含义是两种，因此，由于FIR滤波器需要具有有限的脉冲响应，因此脉冲响应在单位圆内的每个点上都必须是可微的。因此，信号可以以一致的方式扩展，从而没有奇异点（即极点是可移动的）。这就是为什么FIR滤波器的z变换不包含$ z的负功率的原因$。