为什么“异或”是线性运算，但不是普通的“加法”呢？

#1 楼

线性的定义是什么？


线性是为矢量空间之间的映射定义的。如果您在$ F $字段中有一个字段$ F $和两个向量空间$ U $和$ V $，则如果$$ T（\ gamma_1 \ odot u_1 \ oplus \ gamma_2 \ odot u_2）= \ gamma_1 \ odot T（u_1）\ oplus \ gamma_2 \ odot T（u_2）$$每当$ \ gamma_1，\ gamma_2 \ in F $和$ u_1，u_2 \ in V $。在这里，$ \ oplus $和$ \ odot $表示向量的相加及其乘以标量（字段的元素）。

对于不同的向量空间，您将获得不同的线性映射。 />
让我们将$ U $视为所有8位整数的集合，即$ 0 $和$ 255 $之间的整数。使用以2为底的数字系统，每个位都可以表示为正好8位的字符串。例如，$ 13 $变成$ 00001101 $，因为$$ 0 \ cdot2 ^ 7 + 0 \ cdot2 ^ 6 + 0 \ cdot2 ^ 5 + 0 \ cdot2 ^ 4 + 1 \ cdot2 ^ 3 + 1 \ cdot2 ^ 2 + 0 \ cdot2 ^ 1 + 1 \ cdot2 ^ 0 = 8 + 4 + 1 = 13。$$

一种查看$ U $的方法是将其元素视为$ \ {0,1 \ } ^ 8 $。例如，数字$ 13 $成为向量$（0,0,0,0,1,1,0,1）$。在这种情况下，定义两个向量之和的自然方法是对各个分量进行加法运算$ 2 $。这导致总和是两个加数的异或。当$ F = \ {0,1 \} $时，$ U $成为$ F $之上的向量空间。 ）not‽


因为向量空间中的总和是异或，而不是模加。映射$ x \ mapsto x \ oplus c $（这里，$ \ oplus $是异或）实际上是一个仿射变换，通常称为线性外线性代数。

#2 楼

它们都是线性的，但是在不同的代数组中。也就是说，xor在特征2的任何有限域中都是线性的，而“普通”加法在实数的无限域中是线性的。取模$ n $（在密码上比在Real上加法更重要）也是线性运算，但是在整数$ \ mathbb {Z} _n $的环中。线性函数是简单的一个可以用代数方程式（在某些特定的代数或另一个）中准确描述的项，其中所有项的度数都不大于1。

因此两个变量的异或可以通过特征2的有限域中的线性代数方程。但是$ \ mathbb {Z} _n $（对于$ n> 2 $）的代数中没有线性方程可以准确地描述两个变量的异或。相反，两个变量的加和模$ n $（$ n> 2 $）可以用$ \ mathbb {Z} _n $中的线性方程式准确描述，而不能用特征2的任何有限域中的线性方程式精确描述。

如果这些都不对您有意义，那就可以了。您只需要阅读有关抽象代数以及域，环和组的信息。这是一个令人着迷且美丽的数学领域，如果没有至少一定的了解，很多加密技术将毫无意义。