似乎存在不一致之处：我们要么丢失了时间信息，要么可以t反转，或者我们保留时间信息并可以反转。
这种明显的不一致的解决方法是什么？
（我有预感，这与傅里叶变换的虚构部分，尽管我不确定如何。）
#1 楼
确实，进行傅立叶变换会使您没有时间上的任何（可见的）信息，反之亦然，但是当然您不会丢失任何信息，只是以一种方式表示它，使得在一个域中您只能看到时间信息。 ，而在另一个方法中，您只能看到频率信息。以时间反转（实值）函数$ x（-t）$的傅立叶变换为例：其傅立叶变换具有与原始函数$ x（t）$的傅立叶变换的幅度相同。这两个傅立叶变换之间的区别仅在于相位。因此，您正确地假设时序信息是在傅立叶变换的相位中进行编码的。
在傅立叶变换中没有时间本地化，因为其基函数是从$-\ infty扩展的复杂指数。 $到$ \ infty $。还有其他一些变换可以给您一定程度的时间和频率定位，其中最著名的可能是短时傅立叶变换。还请查看此相关问题及其答案。
评论
$ \ begingroup $
当看到复杂平面时，他们说我同时得到时间和频率，这与其他答案没有矛盾吗？
$ \ endgroup $
–戴夫
19/12/11在11:57
$ \ begingroup $
@Dave：就我所见，他们没有这么说。当然，信息始终存在，因为通过傅立叶变换不会丢失任何信息，但是在频域中，您不会看到时间信息。它处于阶段中隐藏的某个位置。
$ \ endgroup $
– Matt L.
19/12/11在12:03
$ \ begingroup $
最后一句话有帮助，但也让我觉得我们可以在复平面上与傅立叶变换搏斗，并提取信息说，在第一秒，G是主导频率；然后B在t =时加入；然后D在t = 2加入；然后B-flat进入最后一秒，使所有四个音调全部和弦。我在正确的轨道上吗？
$ \ endgroup $
–戴夫
19/12/11在12:15
$ \ begingroup $
@Dave：当然，您确实拥有该信息，但是它是以复杂的方式编码的。为了执行您所指的功能，您应该使用其他工具（例如STFT）。
$ \ endgroup $
– Matt L.
19/12/11在12:17
$ \ begingroup $
@ hotpaw2：我同意（并在回答中说）时间信息处于阶段中，但并不是很明显，至少对于未开始的人而言并非如此。
$ \ endgroup $
– Matt L.
19/12/11在14:44
#2 楼
虚部是使您能够逆向进行傅立叶变换并从信号中恢复原始数据块的方法。查看傅立叶数据的另一种方法是，您具有一个幅度和一个相位的相位。每个频率仓的正弦波。
在该块的开头，您会生成一个具有给定幅度的正弦波，该幅度从给定的相位角而不是零开始。使用该频率仓的幅度和相位对每个频率重复一次，将所有正弦波加在一起。
结果看起来与原始信号完全相同（不计算舍入误差等）。
您可以从实部和虚部以及振幅获得相位。
相位是使用arctan函数中一个频点的实部和虚值计算的。大多数编程语言都有一个“ arctan2”函数，该函数接受两个值并返回相位角。
振幅仅为sqrt（real ^ 2 +虚数^ 2）
数学不是我的强项。我已经使用傅立叶变换做了很多事情，并且有一次实现了如上所述的“傅立叶逆变换”，以说服自己它确实可以那样工作。
我希望有一个很好的方法。描述它的方法在数学上更有意义。我只是根据自己的理解描述了其工作方式的实用性。
评论
$ \ begingroup $
因此，可以说实轴给我们振幅，而虚轴给我们时间吗？还是两个轴都与时间和频率相关？
$ \ endgroup $
–戴夫
19/12/11在11:29
$ \ begingroup $
要获得相位，需要实数和虚数。
$ \ endgroup $
– JRE
19/12/11在11:34
$ \ begingroup $
即使我们不知道该振幅的频率何时发生，也仅靠实部获得振幅吗？
$ \ endgroup $
–戴夫
19/12/11在11:37
$ \ begingroup $
还需要将实数与虚数一起获得振幅。
$ \ endgroup $
– JRE
19/12/11在11:43
#3 楼
如在其他答案中已经提到的，时间信息在FFT阶段以非平凡的方式进行编码。理解这一点的最简单方法是查看当我们及时转换信号时，用$ f（xt）代替$ f（x）$，FFT频谱会发生什么。https：//en.wikipedia .org / wiki / Fourier_transform＃Translation _ / _ time_shifting
\ begin {equation}
FFT（f（x））= \ hat {f}（\ xi）\，\，\ implies \，\，FFT（f（xt））= e ^ {-2 \ pi it \ xi} \ hat {f}（\ xi）
\ end {equation}
$ e ^ {-2 \ pi it \ xi} $部分对于任何实际的$ t $和$ \ xi $的量级为1，因此它不影响任何频率$ \ xi的$ f（\ xi）$量级$。但是相位部分已更改-我们添加了与时移$ t $和频率$ \ xi $均成比例的偏移。
现在，如果我们谈论有限持续时间信号（从T1时刻开始，到T2结束），从FFT的角度来看，最好的方法是认为这是一个无限的周期性信号$ h （x）$我们乘以某个窗口函数$ w（x）$：$ f（x）= h（x）\ cdot w（x）$。例如，$ w（x）$在间隔[T1，T2]内可以是1，在其他任何地方都可以是0
https://en.wikipedia.org/wiki/Window_function#Rectangular_window
如您所知，时域乘法是频域的卷积，因此最终将得到无限周期信号$ h（x）$的频谱与窗口函数$ w（x）$的频谱（无穷大）进行卷积。例如，如果我们的无限信号是频率为\\ xi $的正弦函数，那么它的频谱就是几个以$ \ xi $和$-\ xi $为中心的增量函数。带增量函数的卷积会产生相同的函数，但将其移位后，其零点将以增量函数为中心，因此对于正弦波，您实际上将看到窗口函数谱的两个移位副本。对于足够大的$ \ xi $和足够长的信号持续时间（T2-T1），这两个对象之间的距离应足够远以避免它们之间的强烈干扰，因此您可以很大程度上忽略“负频率-\ xi”中的额外副本。因此，在正频率范围内，您将像这样（使用链接查看图像）
https://www.researchgate.net/figure/shows-a-simple-sine-wave-with-three窗口功能和相应的Fourier_fig1_2479950
如前所述，移动窗口功能将影响其相位，因此有关信号开始时的时刻T1的信息将在该窗口功能的相位中进行编码。但是，这将很难解释，因为它将是窗函数频谱的两个移位副本之和与频率相关的附加相移的组合。逆FFT是以人类可读的方式恢复此信息的最佳方法。
另一方面，有关信号持续时间（T2-T1）的信息将影响窗口功能的宽度。随着信号持续时间的增加，窗口函数将在中心频率附近“收缩”，随着信号越来越长，理想三角函数将越来越接近。在这种情况下，频谱的振幅会以非常直接的方式受到影响，因此，通过查看频谱旁瓣的宽度，您可以很好地估计正弦信号块的长度。短信号=宽频谱，反之亦然。
#4 楼
恕我直言，理解离散或连续FT的最佳方法是通过线性代数的透镜，这只是另一个坐标变换。这是一种特殊情况，需要时间/频率解释也可用。需要理解的是，这种解释源于整个帧的纯音。尝试将其应用于混合信号时，只会在这些混合接近此假设时才会获得有意义的结果。
作为反例，请考虑在您的一半音频中具有给定频率的纯音的情况框，然后在中心翻转（180度相移）以覆盖下半部分。显然，该信号的频率成分严格来说是音调的频率，但是FT在该频率处将为零。
有时它有助于退后一步，在较大的范围内查看某些内容。 。
评论
$ \ begingroup $
我认为这是回答问题的唯一答案。 Plancherel变换是在$ L ^ 2（\ mathbb {R}）$上的unit同构。
$ \ endgroup $
–copper.hat
19/12/12在17:42
$ \ begingroup $
翻转了一半的正弦波的能量将被推到附近的边带。向后退一点点，显然仍然可见，而不是零。与任何非矩形窗口一样。
$ \ endgroup $
– hotpaw2
19/12/12在23:47
$ \ begingroup $
@ hotpaw2“在该频率”将为零。因此，反例的重点是对通用概念“ DFT揭示信号的频率内容”提出质疑。实际上，反例恰恰与该说法相矛盾。它揭示了实际频率为零以及信号中没有的一堆无关频率。顺便说一句，它不是能量，而是平方和。 “能源”是一种针对特定应用的解释。
$ \ endgroup $
–雪铁龙·道格（Cedron Dawg）
19/12/12在23:55
$ \ begingroup $
正弦波的频率成分很少在现实世界的任何bin中心完全存在。
$ \ endgroup $
– hotpaw2
19/12/13 0:00
$ \ begingroup $
@ hotpaw2在离散情况下，如果它不是bin居中的，那么就没有相应的bin。在连续的情况下，我所说的仍然是正确的。我决定涵盖这两种类型。 OP显然应该考虑DFT具有时间序列数据，但是所有其他答案似乎都是基于连续案例的。这反映了你们大多数人是如何学习的：倒退。连续情况实际上是正确推导顺序下离散情况的极限。积分是求和的极限。
$ \ endgroup $
–雪铁龙·道格（Cedron Dawg）
19/12/13在0:06
#5 楼
时间信息不会丢失。它已移动（移至FFT结果的其他部分）。如果正弦信号在时间窗口中开始或结束，则会对其进行调制。如果信号在时域中被调制，则它将在频域中具有边带。因此，时间或调制信息仍然存在于FFT结果的（许多）边带中（例如，不仅仅处于一个“主”区间幅度）。
调制的时间位置将处于所有边带与载波的相位关系中。相位信息与虚部和实部的反正切有关，而不仅与幅度有关。某些FFT边带相位关系会导致时间窗口某些部分的抵消。它们还会导致时间窗口其他部分中的波形相加或增强。
因此，时间信息不会丢失，而是会转移到主分量的虚部和实部之间的关系。 FFT结果中的边带频率。因此，FFT可能会以某种稍微模糊的方式说出信号在窗口内的哪个位置：开始，中间或结束等。
因此时间信息是完全可恢复的。 >
评论
$ \ begingroup $
OP提出了一个理论问题，从定义上讲这不是现实世界。在我的回答中，我试图扩大范围以证明这确实是一个毫无意义的问题。语句“换句话说，我们可以说信号中出现了100Hz强度”，这表明了他的潜在前提。是不正确的，我试图证明这一点。我会以一种晦涩的方式承认。我将此评论放在您的回答下，因此我们不会收到“带到聊天室”的废话。就我而言，所有其他答案都未达到这个标准。
$ \ endgroup $
–雪铁龙·道格（Cedron Dawg）
19/12/13在5:02
#6 楼
确实，幅度谱本身不能无歧义地反转。在我的解释中，时间以某种方式编码在每个频点处存在的相位信息中。对我而言，每次样本信息都以某种方式散布在完整的相位矢量上，因此看起来好像是混乱的。此外，此信息在$]-\ pi，\ pi $$区间中是已知的，需要解开才能解释，但这是一个复杂的问题。但是众所周知，在图像处理中（对于分段的规则对象），相位只能恢复对象的形状，其幅度要好于幅度。
评论
$ \ begingroup $
理想傅里叶变换的抽象概念与使用傅里叶概念的计算之间存在重要区别。图像处理使用有限的位深度和有限的采样率，这会带来不准确性。
$ \ endgroup $
–累计
19/12/11在22:23
#7 楼
我已经知道很多年了，如果我们使用傅立叶变换来敲击一个函数，我们会有一个傅立叶逆变换来恢复原始函数。
对于特定的定义
并非所有函数都具有傅立叶变换，这是传统意义上的函数。例如，纯正弦波的傅立叶变换将仅在该频率处为尖峰，而在其他任何地方为零，即狄拉克δ函数。因此，除非您从输入中排除诸如纯正弦波之类的函数，或者将狄拉克增量视为有效的“函数”，否则傅立叶变换是同构是不正确的。
换句话说，我们可以说100Hz以某种强度出现在信号中，但是我们不能说它出现在信号的开始还是结束。
当然不是。如果该功能具有100Hz分量，则其具有100Hz分量。该函数具有100Hz分量，而不是特定的时间位置。 100Hz分量在任何特定时间都没有，它是整个信号的一部分。在傅立叶级数中，每个项都是每个$ t $值的级数项。在傅立叶变换中，您没有一个级数，而是一个整数，并且集成的函数的每个部分都是每个$ t $值的积分的一部分。
[BTW，傅立叶变换在所有位置空间（从负无穷大到正无穷大）到整个频率空间上都具有波函数。因此，没有“开始”或“结束”。因此，我将这些术语用引号引起来。]
傅立叶变换将每次出现的每个频率都视为存在，其幅度取决于原始信号，但在整个时间上都是恒定的。如果100Hz的幅度为$ a_ {100} $，则对于$ t $的所有值，幅度为$ a_ {100} $。就傅立叶变换而言，说100Hz出现在信号的一个部分中却没有出现在另一个信号上是胡说八道。
现在，您可能正在思考在信号线中，您可以在波函数图中看到一个100Hz振荡，其中一个值为$ t $，而另一个则看不到。在这种情况下，傅立叶变换始终将100Hz分量视为存在，但是在某些地方，所有其他分量组合起来可以将其抵消。
这两个地方有很大的不同信号给我，但是我应该能够通过应用傅立叶逆变换来恢复每个信号？
是的，如果您有信号$ A $和$ B $，而您看到在$ A $的“开始”处有一个100Hz的振荡，但在“结束”处没有，而在$ B $的“末端”处却看到它，但没有在“开始”处，那么这意味着对于$ A $，其他频率成分在“末尾”抵消100Hz，而对于$ B $，它们在“开始”抵消。由于其他组件表现出不同的行为，这意味着它们的振幅是不同的。因此，位置空间中这种100Hz行为的明显差异表现为频率空间中的幅度不同。没有局部性：原始功能在特定时间显示的任何内容都会反映在变换中每个频率的振幅中。
如果某个东西看起来像是纯正弦波，但仅一次出现，那么要在傅立叶变换中得到它，就需要整个频谱上的分量。
似乎存在矛盾：我们要么丢失了时间信息而无法反转，要么保留了时间信息并可以反转。
时间信息显示的信息被转换成频率信息它会更改形式，但会保留。我们保留时间信息，但不再在时间部分中显示。
评论
$ \ begingroup $
‘对于“功能”的特定定义。 ’–是；为什么不喊出来：FT是同构的函数的特定空间是$ L ^ 2（\ mathbb {R} ^ n）$。
$ \ endgroup $
–leftaround关于
19年12月12日在16:15
评论
您的直觉是很好的。傅立叶系数很复杂：它们具有一个大小和一个相位。这里还有其他统计学家：复数表示“缩放和旋转”，傅立叶变换使用该积分变换在缩放和旋转的特定基础上重写该函数。显然，您可以再次更改基础。 （实际上，傅立叶变换是等轴测图，但是如果您不擅长纯数学运算，那将是一个更长的故事）。但这不是“只是”承载时域信息的虚部-您需要同时拥有两个数字才能知道缩放的大小和旋转角度。
@nomen我至少会好奇地将Fourier变换视为等轴测图。参考？堆栈帖子？
@戴夫：en.wikipedia.org/wiki/Plancherel_theorem