“傅立叶变换不能以相同的频率测量两个相位。”为什么不？

#1 楼

这是因为同时存在两个具有相同频率和不同相位的正弦信号实际上等效于处于相同频率的单个正弦信号，但是具有如下新的相位和幅度：
将两个正弦分量相加像这样：
$$ x（t）= a \ cos（\ omega_0 t + \ phi）+ b \ cos（\ omega_0 t + \ theta）$$
然后，通过三角操作，它可以显示为：
$$ x（t）= A \ cos（\ omega_0 t + \ Phi）$$
其中
$$ A = \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2 + 2 ab \ cos（\ theta- \ phi）} $$和
$$ \ Phi = \ tan ^ {-1} \ left（\ frac {a \ sin（\ phi）+ b \ sin （\ theta）} {a \ cos（\ phi）+ b \ cos（\ theta）} \ right）$$
因此，您实际上只有一个正弦曲线（具有新的相位和幅度），因此什么也没有确实可以区分...

#2 楼

如果您进一步阅读，则直译为“上面讨论的傅立叶变换的简化版本无法说明相移-傅立叶变换实际上是如何做到的？”您会注意到一个更好的解释，它们使用正弦和余弦。


“相移数学（可选）。

为了了解如何相移可以分解为非正弦和余弦，我们需要一个三角恒等式：sin（a + b）= sin（a）* cos（b）+ cos（a）* sin（b）。

A * sin（2 *π* f * t +φ）= A * cos（φ）* sin（2 *π* f * t）+ A * sin（φ）* cos（2 *π * f * t）

如您所见，相移将正弦信号的某些幅度（能量）移动到余弦信号中，但是频率没有变化。傅立叶变换的复数表示，相移仅表示值在复数平面中的旋转，幅度不变；事实上，相移仅将幅度从正弦移动到余弦，这意味着将两个具有相同频率和不同的相位会给出在该频率下具有整体（平均）相移的信号-且不存储任何分量。“。


在实践中，它更加复杂，请参阅“偏傅立叶技术”，“相位共轭对称”和“ FOV和k空间”。在“相位编码简介-I”中，他们解释了：


“ ......当两个频率相同但相位不同的正弦波（A和B）加在一起时，结果是另一个具有相同频率但相位不同的正弦波，当正弦波在相位上彼此靠近时，它们会产生相长干涉，而在异相时它们会产生相消干涉。

...只看总而言之，您只是看到一个具有一定频率和相位的正弦波，因此无法通过单次观察来梳理出A波和B波的单个贡献。

但是，通过对A和B进行不同相位的两个观察，可以仅查看它们的总和来确定它们的个体贡献。下面在MR图像中对此进行了说明，其中A和B是同一垂直列中以相同编码频率（ω）谐振的两个像素。具体来说，在步骤0（基准线，当未应用相位编码梯度时）可以将来自A＆B的总信号写为：So（t）= A sinωt+ B sinωt=（A + B）sinωt。







...





从步骤1的这一单次测量中，我们仍然不知道单个振幅A和B，仅知道它们的差（AB）。结合使用来自步骤0和步骤1的信息，我们可以通过简单的代数提取唯一的信号贡献：

½[So + S1] =½[（A + B）+（A− B）] = A和½[So − S1] =½[（A + B）−（AB）] = B

“。


否则，它看起来像这样（图像A）：



PFI显示来自各种算法的伪像：（A）基本算法，（B）BAX算法，（C ）零填充算法，（D）使用具有先验常数，线性SDPS校正的数据的基本算法，说明了来自高阶SDPS的伪像。

#3 楼

将$ c \ cos（\ omega t + \ phi）$写为$ Re（ce ^ {（\ omega t + \ phi）i}）$可能会稍微清楚一点。然后，由于$ Re $分布在加法上，因此$ c_1 \ cos（\ omega t + \ phi_1）+ c_2 \ cos（\ omega t + \ phi_2）= Re（c_1e ^ {（\ omega t + \ phi_1）i} + c_2e ^ {（\ omega t + \ phi_2）i}）$。我们可以分解出$ ae ^ {\ omega t i} $，然后得到$ Re（e ^ {\ omega t i}（c_1e ^ {\ phi_1i} + c_2e ^ {\ phi_2i}））$。这表明，当我们处理两个相同频率的信号时，我们可以分解出与时间有关的部分，使每个信号都具有一个常数项，当然，在进行傅立叶变换时，常数项可以是排除。我们还可以注意到，可以将$ c e ^ {\ phi i} $解释为复平面中的矢量，其中复数的大小为$ c $，角度由$ \ phi $给出。我们可以在此向量空间中执行加法运算：表示和的向量是表示被加数的向量的和。

因此，尽管两个信号都影响输出的幅度，但是附加信号不会影响输出在相空间中的位置。

#4 楼

我想用圆和求出几何形式的问题的路径。

正弦和余弦只是“正”体的实部和虚部，或者是复杂的指数（一些参考资料可以在“如何直观地解释复杂的指数？”，3D摆动图获取分析信号）中找到。 ：Heyser开瓶器/螺旋形，傅立叶变换标识。

如果采用$ s _ {\ omega，\ phi}（t）= e ^ {2 \ pi i（\ omega t + \ phi）} $，则$ \ mathrm {Re}（s_ {\ omega，0}（t））= \ cos（2 \ pi \ omega t）$或$ \ mathrm {Im}（s _ {\ omega，\ pi / 2}（t））= \ cos（2 \ pi \ omega t）$，您可以进行很多组合。周长体的优点是它可以更好地利用2D空间，因为它可以描述为一个圆（一个轮子），点在该圆上以$ \ omega $的不同速度运动。 “具有不同幅度的频率”的总和可以表示为具有不同半径和速度的“自转轮总和”（从谐波圆或傅立叶级数动画中借来），如下所示：



回到相同频率的两个谐波之和，问题如下：我们可以
分离或测量组合吗？
$$ a_1 s _ {\ omega， \ phi_1}（t）+ a_2 s _ {\ omega，\ phi_2}（t）\，？$$

常量$ a_1 $和$ a_2 $可能很复杂，因此让我们简化问题之前。由于傅立叶具有平移不变性，因此我们可以分解$ e ^ {2 \ pi i \ phi_1} $或$ e ^ {2 \ pi i \ phi_2} $并仅保留一个相位差。我们还可以分解幅度（例如最大），并将问题简化为简化问题的行为：

$$ s _ {\ omega，0}（t）+ a s _ {\ omega，\ phi}（t）\ , $$

和$ | a | <1 $。这种简化可以写为：

$$ e ^ {2 \ pi i（\ omega t）} + ae ^ {2 \ pi i（\ omega t + \ phi）} \ label {a } \ tag {1} $$

，因此为：

$$（1 + ae ^ {2 \ pi i \ phi}）e​​ ^ {2 \ pi i（\ omega t）} \ , \ label {b} \ tag {2} $$

这是另一个具有相同频率但相位和幅度不同的谐波分量。
复数$（1 + ae ^ {2 \ pi i \ phi}）$可以重写为$ \ alpha e ^ {2 \ pi i \ varphi} $，其三角规则由@ Fat32详细说明（稍后需要时我会详细介绍）。现在，让我们确定直觉。单位圆是行驶中的自行车车轮上的一点（例如气门嘴）的运动。半径$ a $的半径就像是一个附着在阀门上的小纺车（就像上面图片中的蓝色和红色圆圈一样）。现在，我们来看看小轮周边上的点的运动。

你的问题是什么：如果小轮和大轮的角旋转相同，则无法确定点的运动是否是由两个半径轮的运动相结合产生的$ 1 $和$ a $（具有一些初始角度），或者是从一个更大的轮子（半径为$ \ alpha $）出发，并带有其他一些起始角度。这就是$ \ ref {a} $和$ \ ref {b} $的意思。

换句话说，无论是傅立叶变换还是人眼都无法区分具有相同特征的分量频率但相位不同。

[[如果发现时间，我会添加动画]]