高斯差分：$ \ left [g_1（x，y，t）\ ast f（x，y）\ right]-\ left [g_2 （x，y，t）\ ast f（x，y）\ right] $
与Ricker小波的卷积：$ \ textrm {Ricker}（x，y，t）\ ast f（x，y）$
据我目前的理解：DoG是LoG的近似值。两者都用于斑点检测，并且两者本质上都用作带通滤波器。用墨西哥帽/里克小波进行卷积似乎可以达到几乎相同的效果。
我已经将所有三种技术应用于脉冲信号（必须进行缩放以使幅度相似），结果非常接近。实际上，LoG和Ricker看起来几乎相同。我注意到的唯一真正的区别是使用DoG，我有2个免费的参数可进行调整（$ \ sigma_1 $和$ \ sigma_1 $），而LoG和Ricker则为1。我还发现小波是最简单/最快的，因为它可以通过一次卷积（通过傅立叶空间乘以核的FT乘以完成）对DoG进行2次，对卷积进行卷积再加上Laplacian进行。
每种技术的比较优点/缺点是什么？
是否有一个用例优于另一个的用例？
我也有一个直观的想法，在离散样本上，LoG和Ricker退化为相同的操作，因为$ \ nabla ^ 2 $可以实现为内核
$$ \ begin { bmatrix} -1，＆2，＆-1 \ end {bmatrix} \ quad \ text {or} \ quad \ begin {bmatrix}
0＆-1＆0 \\
0＆-1＆0
\ end {bmatrix} \ quad \ text {用于2D图像} $$。
将该操作应用于高斯会产生Ricker / Hat小波。此外，由于LoG和DoG与热扩散方程有关，我认为我可以使两者都与足够的参数摆设匹配。
（我还是会被这些东西弄湿，可以随时纠正/澄清其中的任何一个！）
#1 楼
高斯的拉普拉斯图像$ f $的高斯的拉普拉斯（LoG）可以表示为
$$
\ nabla ^ 2（f * g） = f * \ nabla ^ 2 g
$$
，带有$ g $高斯核和$ * $卷积。即，由高斯核平滑的图像的拉普拉斯与与高斯核的拉普拉斯卷积的图像相同。在2D情况下，该卷积可以进一步扩展为
$$
f * \ nabla ^ 2 g = f * \ left（\ frac {\ partial ^ 2} {\局部x ^ 2} g + \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial y ^ 2} g \ right）= f * \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial x ^ 2} g + f * \ frac { \ partial ^ 2} {\ partial y ^ 2} g
$$
因此，可以将其计算为输入图像的两个卷积与的二阶导数的和高斯核（在3D中，这是3个卷积，等等）。这很有趣，因为高斯核及其导数是可分离的。即，
$$
f（x，y）* g（x，y）= f（x，y）* \ left（g（x）* g（y） \ right）= \ left（f（x，y）* g（x）\ right）* g（y）
$$$
表示我们可以代替2D卷积使用两个一维卷积来计算相同的事物。这样可以节省大量计算。对于最小的可想像的高斯核，您将在每个维度上有5个样本。一个2D卷积需要25个乘法和加法，两个1D卷积需要10个。内核越大或图像中的维数越大，这些计算节省就越重要。
因此，LoG可以是使用四个1D卷积进行计算。但是，LoG内核本身是不可分离的。 3x3内核，中间为-4，在其四个边缘邻居中为1。
Ricker小波或Mexican hat运算符与LoG相同，直到缩放和归一化。
高斯人的差异
图像$ f $的高斯（DoG）之差可以写成
$$
f * g _ {（1）}-f * g _ {（2）} = f * （g _ {（1）}-g _ {（2）}）
$$
因此，就像LoG一样，DoG可以看作是一个不可分离的2D卷积或两个可分离卷积的和（在这种情况下为差）。这样看来，使用DoG相对于LoG似乎没有计算优势。但是，DoG是可调谐的带通滤波器，LoG不能以相同的方式进行调谐，应将其视为导数。 DoG也会自然地出现在比例空间设置中，在该图像中，图像以许多比例（具有不同sigma的高斯）进行过滤，后续比例之间的差异就是DoG。
DoG内核有一个可分离的近似值，尽管近似值不是各向同性的，但可将计算成本降低一半，从而导致滤波器的旋转依赖性。曾经（对我自己）展示了LoG和DoG的等效性，对于两个高斯内核之间的sigma差异极小（达到缩放比例）的DoG。我没有这个记录，但并不难证明。
其他计算这些过滤器的形式
可以使用因果和反因果IIR滤波器计算高斯及其导数。因此，上述所有一维卷积都可以在恒定时间w.r.t中应用。西格玛请注意，这仅对较大的sigma有效。
同样，可以在傅立叶域中计算任何卷积，因此DoG和LoG 2D内核都可以转换为傅立叶域（或者在那里进行计算） ）并通过乘法应用。
结论
这两种方法的计算复杂度没有显着差异。我还没有找到使用DoG近似LoG的充分理由。
#2 楼
里克小波，（各向同性的）马尔小波，墨西哥帽或高斯的拉普拉斯算子属于同一概念：连续的可接收小波（满足某些条件）。传统上，Ricker小波是一维版本。 Marr小波或墨西哥帽是在2D图像分解的背景下给出的名称，例如，您可以考虑“全景图”的第2.2节，该图涉及多尺度几何表示，空间，方向和频率选择性交织，信号处理，2011 L.雅克等。高斯的拉普拉斯算子是多维概括。但是，在实践中，人们接受不同级别的离散化。
我倾向于（除非给出更多细节）3美元乘以3美元的离散应用于高斯的梯度核并不是原始的Ricker，而是一种简化，可以解释图中的细微差异。我对参考文献感兴趣。确实，您至少可以对$ 3 \乘以3 $的Laplacian运算符（4和8邻域）进行自然离散：
$$ \ begin {pmatrix}
0＆- 1＆0 \\
-1＆4＆-1 \\
0＆-1＆0 \\
\ end {pmatrix} $$
或
$$ \ begin {pmatrix}
-1＆-1＆-1 \\
-1＆8＆-1 \\
-1＆-1＆-1 \\
\ end {pmatrix} $$
还有其他近似值，例如具有$ 5 \乘以5 $的内核，或高斯Laplacian / Laplacian的其他化身。 BR />随着其方差比$ \ $ sigma_1和$ \ $ sigma_2（通常约为1.6），正确的选择，高斯的差异提供了一个很好的可分离近似日志（例如见快几乎高斯滤波，P. Kovesi）。反过来，这些高斯也可以用递归近似高斯近似。 >
上次参考：使用广义尺度空间兴趣点进行图像匹配，T。Lindeberg，2015年。
评论
$ \ begingroup $
很有启发性，谢谢！因此，从快速高斯平滑处理听起来，DoG具有计算优势，因为它可以直接在空间域中完成，因此我设想例如针对CCD /集成计算机视觉的片上信号处理。另外，全景图看起来像是一本很棒的书，谢谢！
$ \ endgroup $
– DeusXMachina
17年2月17日在18:41
$ \ begingroup $
通过快速逼近，您确实可以进行许多独立于比例尺的操作
$ \ endgroup $
– Laurent Duval
17年2月17日在19:43
$ \ begingroup $
1.6比率来自哪里？如果写出数学公式，您会发现高斯的二阶导数与高斯的差之间存在精确的等价关系，而sigma（直至缩放）的差异很小。
$ \ endgroup $
–克里斯·伦戈（Cris Luengo）
18年3月19日在13:06
$ \ begingroup $
从1980年的Marr和Hildreth附录B中，他们将其称为“最佳工程近似”，在带宽和灵敏度之间进行权衡，这是基于优点曲线，同时改变了宽度比。我过去曾在代尔夫特见过一些同名的作品。巧合？
$ \ endgroup $
– Laurent Duval
18年3月19日在17:51
$ \ begingroup $
@LaurentDuval：我在代尔夫特攻读博士学位。没有其他人用我的名字AFAIK。我可以看到您如何根据灵敏度和带宽得出（主观）最优值。如果比率太小，则响应太低，可能比离散噪声更多地依赖于离散噪声；反之，如果比率太高，则不是一个有趣的过滤器。说得通。谢谢！
$ \ endgroup $
–克里斯·伦戈（Cris Luengo）
18 Mar 19 '18 at 20:31
评论
$ \ begingroup $
这是一个了不起的答案！我将其更新为新的答案，不是说洛朗的答案是错误的或不完整的，而是您花了一些时间为一个已回答多年的问题添加一个很好的第二个观点。
$ \ endgroup $
– DeusXMachina
18年3月19日在20:20
$ \ begingroup $
DoG和LoG以“树皮”规模相遇
$ \ endgroup $
– Laurent Duval
18 Mar 19 '18 at 20:56