让$ X，Y $为WSS随机向量。协方差$ C_ {XY} $由$$ C_ {XY} = E \ left [（X- \ mu_x）（Y- \ mu_y）^ H \ right] $$给出，其中$ H $代表向量的埃尔米特。
让$ Z $为WSS随机向量。自相关函数$ R_ {XX} $由$$ R_ {ZZ}（\ tau）= E \ left [\ left（Z（n）-\ mu_z \ right）\ left（Z（n + \ tau） ）-\ mu_z \ right）^ H \ right] $$
编辑说明对信号处理的定义有一个更正，请参见下面的Matt解答。 >协方差不涉及时间的概念，它假设随机向量的每个元素都是某个随机生成器的不同实现。自相关假设随机向量是某个初始随机生成器的时间演化。最后，它们都是相同的数学实体，是一个数字序列。如果让$ X = Y = Z $出现，则显示$$ C_ {XY} = R_ {ZZ} $$还有我想念的更微妙的地方吗？
#1 楼
根据您对自相关的定义，自相关只是两个随机变量$ Z（n）$和$ Z（n + \ tau）$的协方差。此函数也称为自协方差。顺便说一句，在信号处理中，自相关通常定义为
$$ R_ {XX}（t_1，t_2）= E \ {X（t_1）X ^ *（t_2）\} $$
ie，但不减去均值。自协方差由
$$ C_ {XX}（t_1，t_2）= E \ {[X（t_1）-\ mu_X（t_1）] [X ^ *（t_2）-\ mu给定^ * _ X（t_2）] \} $$
这两个函数通过
$$ C_ {XX}（t_1，t_2）= R_ {XX}（ t_1，t_2）-\ mu_X（t_1）\ mu ^ * _ X（t_2）$$
评论
$ \ begingroup $
如果将$ \ tau $视为变量，则自相关将成为该“时间间隔”的函数，该“时间间隔”可以产生有关数据集的非常有趣的信息。看一下自相关，离散傅立叶变换和Wiener-Khinchin定理之间的关系。
$ \ endgroup $
– PhilMacKay
17年2月28日在16:36
$ \ begingroup $
@PhilMacKay：可以，但是仅适用于WSS进程。我给出了一般情况下的定义，其中过程不一定是固定的。
$ \ endgroup $
– Matt L.
17年2月28日在16:43
$ \ begingroup $
是的，确实，非平稳过程可能会令人讨厌数据分析，这就是为什么我总是在使用心爱的统计工具之前尝试消除数据趋势！不过，这并不总是可能的...
$ \ endgroup $
– PhilMacKay
17年2月28日在20:05
#2 楼
请注意，您的自相关定义如何包含一个附加项$ \ tau $，它指定了两个序列$ Z（n）$和$ Z（n + \ tau）$的偏移量。实际上，该符号表明$ R_ {ZZ}（\ tau）$是为\ mathbb {R} ^ + $中的任何$ \ tau \定义的连续函数，而$ C_ {XY} $是标量。 br />正如您提到的，如果让$ X = Y = Z $，则意味着$ \ tau = 0 $，这是$ R_ {ZZ}（\ tau）$的一种特殊情况。
根据我的个人经验（天体物理学，各种传感器处理），协方差被用作检查两个数据集相似性的系数，而自相关被用来表征相关距离，即数据发展到完全变成另一种数据的速度。
评论
正如Matt指出的那样，在问题中错误地指出了自相关$ R_ {ZZ}（\ tau）$的定义