Nitpick：曲线是双向等价的，而不是同构的。
现在，这一术语在密码学中经常出现，尤其是当人们关注各种曲线表示之间的差异和转换时。所以我的问题是：
对于从未听说过“变体”或“功能域”的“密码学家”，“双向对等”对两组/环/域之间的关系有何说明？ />
我进行了一些搜索，但是通常大多数解释都使用这种高级代数术语，并且我想对密码学中的日常代数有一个“简单”的解释/直觉。 >
#1 楼
我觉得这是我的评论，我有义务回答这个问题：-)。首先，双对等对等实际上是一个几何概念。据我所知，没有用于组，环或字段的类似物，因此密码相关性受到限制。当谈到几何对象（例如椭圆曲线）时，它变得很重要。
鉴于这些几何对象，我们要定义“相同”的含义。通常的术语是，给定两条曲线$ E_1 $和$ E_2 $，当它们是同构时，它们是“相同的”。还有另一种等同对象的方法，那就是说它们“几乎相同”。这就是双向等价的方式：两条曲线$ E_1 $和$ E_2 $在它们之间有映射$ \ phi：E_1 \ rightarrow E_2 $时，在两点相等，这两个映射在$ E_1 $的每个点处定义，除了一小集有一个逆映射$ \ phi ^ {-1}：E_2 \ rightarrow E_1 $，它在$ E_2 $的每个点处定义，除了少数例外。除了我们允许一些例外的事实外，此定义与同构的定义非常接近。
为了更具体地说明这一点，您可以将同构视为多项式的元组：
$$ \ psi：E_1 \ rightarrow E_2，\ quad（x，y）\ mapsto（f（x，y），g（x，y）），$$
其中$ f， g $是$ x，y $中的多项式。逆也用多项式来定义。
二元映射可以看作是多项式分数的元组，例如
$$ \ phi：E_1 \ rightarrow E_2，\ quad（x，y）\ mapsto \ left（\ frac {f_1（x，y）} {f_2（x，y）}，\ frac {g_1（x，y）} {g_2（x，y） } \}}。$$
除在其中$ f_2（x，y）= 0 $或$ g_2（x，y ）= 0 $。逆也是多项式的一部分，因此在某些点上是不确定的。
现在让我们更具体地讲，并遵循Ed25519论文。 Curve25519曲线由$$ E_1：v ^ 2 = u ^ 3 + 486662u ^ 2 + u定义。$$
它在双向上等价于
$$ E_2：x ^ 2 + y ^ 2 = 1 + \ frac {121665} {121666} x ^ 2y ^ 2。$$
给出的爱德华兹曲线等价由映射$ \ phi：E_1 \ rightarrow E_2 $给出，该映射由
$$ phi（u，v）= \ left（\ frac {\ sqrt {486664} u} {v}，\ frac定义{u-1} {u + 1} \ right）。$$
请注意，对于$ v = 0 $或$ u = -1 $尚未定义，因此不是同构。逆映射由
$$ \ phi ^ {-1}（x，y）= \ left（\ frac {1 + y} {1-y}，\ frac {\ sqrt {486664} u } {x} \ right）。$$
同样，对于$ y = 1 $或$ x = 0 $没有定义。
最后，考虑扭曲的爱德华兹曲线
$$ E_3：-x ^ 2 + y ^ 2 = 1- \ frac {121665} {121666} x ^ 2y ^ 2。$$
有地图$ \ psi：E_2 \ rightarrow E_3 $由$ \ psi（x，y）= \ left（ix，y \ right）$乘以$ i $是$ -1 $的平方根。这在任何地方都清楚定义，并且是同构的。
评论
$ \ begingroup $
实际上，在箭头为有理映射的类别中，它们将是同构的！
$ \ endgroup $
–user25578
17年1月16日在18:58
$ \ begingroup $
一个基本的例子是（x ^ 3 + x ^ 2 + x-3）/（x-1）等同于x ^ 2 + 2x + 3，但其中一个在x =处有孔1个，其他不是吗？
$ \ endgroup $
–霍布斯
17年1月17日在8:47
$ \ begingroup $
@hobbs听起来不错，尽管您可能想使它更精确。它们在函数字段中对应于相同元素的意义上是“等价的”，而当它们被视为多项式的分数时，它们是不同的（因为一个在$ x = 1 $处显然未被定义，而另一个在$ x = 1 $处未定义）。
$ \ endgroup $
–曲线爱好者
17年1月17日在10:22
$ \ begingroup $
在密码学设置中，另外一个相同性概念很重要：双对映图是否在$ k $个理性点的组中（至少对于定义它的那些点）保留了加法则？ （答案：是的，但是对于代数几何的局外人来说这并不明显。）
$ \ endgroup $
–吱吱作响的s骨
17年8月27日在16:17
$ \ begingroup $
使用代数几何提供的代数和几何之间的字典，您可以讨论环$ R_1，R_2 $之间的双等价对等物，只要它们是整数域。它们的分数字段之间仅存在同构$ \ mathrm {Frac}（R_1）\ cong \ mathrm {Frac}（R_2）$。也许是更忠实于几何的更好定义，可能是同构$ \ mathrm {Frac}（R_1）\ supset R_1 [f_1 ^ {-1}，\ dots，f_m ^ {-1}] \ cong R_2 [g_1 ^ {-1}，\ dots，g_n ^ {-1}] \子集\ mathrm {Frac}（R_2）$在有限生成的本地化之间。
$ \ endgroup $
–PrimeRibeyeDeal
18年8月28日在18:24