如果系统显式依赖于$ t $或间接依赖于$，是否有所作为？ t $由于时变参数？
我想详细解释这个问题：
让动态系统由$ \ dot x = f $表示，状态$ x $。
如果动力学$ f $依赖于时间$ t $，则说动力学系统是非自治的，即$$ \ dot x = f（t，x）。$$
例如系统$$ \ dot x =-tx ^ 2 $$和$$ \ dot x = -a（t）x，$$是非自治的。令$ a（t）$为有界时变参数，即$ || a（t）|| 0 $。
特别地，第二个示例更可能表示为时变线性系统，但它当然是非自治的。
在Lyapunov稳定性分析中，必须强烈地区分自治系统和非自治系统，以对系统的稳定性作出断言，而对非自治系统的Lyapunov分析则要困难得多。对我来说，这里出现了一些问题。当我要分析第二个示例的稳定性时，我是否真的必须对非自治系统使用李雅普诺夫理论？
候选者$ V = 1/2 x ^ 2 $
$$ \ dot V = -a（t）x ^ 2，$$
，它是负的。我想像，原点真的是渐近稳定的吗？还是在这种情况下必须考虑非自动特性？第一个示例，或者由于参数随时间变化而只是间接的，因为$ t $接近无穷大，但是参数没有。
#1 楼
您对“非自治”的定义不正确。请查阅有关控制理论的权威参考文献，如Sastry，Khalil或Slotine和Li的文献。这里是从数学stackexchange复制的术语的简要摘要。
如果系统参数不取决于时间，则为时间不变
这些系统表示为：
$$ \ dot x = f（x，u），\ dot x = f（x）$$或系统为线性$$ \ dot x = Ax + Bu，\ dot x = Ax $$
如果系统参数确实取决于时间，则系统是时变的
这些系统表示为：
$$ \ dot x = f（x，u，t）$$或$$ \ dot x = A（t）x + B（t）u $$
对于RLC电路，$ A（t）$可以表示包含时变电容，电感或电阻的矩阵。类似地，对于质量弹簧-阻尼器系统，$ A（t）$可以表示随时间变化的阻尼，摩擦和质量。当然，所有实际系统都是随时间变化的，尽管可能是小时，年甚至几千年的规模。 ：
这些系统表示为：
$$ \ dot x = f（x，u（x））= f（x）$$或$$ \ dot x = Ax + Bu（x）=（A-BK）x $$假设我们使用反馈$ u = -Kx $。任何状态反馈系统都是自治的，因为您输入的$ u $是状态的函数。
您可能已经猜到了，（时不变）非自治系统是您的输入不是状态的函数时
这些系统表示为：
$$ \ dot x = f（x，u）$$或$$ \ dot x = Ax + Bu $$
例如，$ u $可能是太阳辐射照射到太阳能电池板上，其中$ x $封装了太阳能电池板的状态。太阳能电池板不会影响日光或太阳，也不会影响通过太阳的云。
对于您的问题，您（很可能）*无法使用系统建议的Lyapunov函数，即：
使用$$ V（x）= \ dfrac {1} {2} x ^ 2 $$
来证明
$$ \ dot x =的原产地稳定性a（t）x $$
因为您的系统具有随时间变化的参数。它是自主的，并且是随时间变化的。
您需要做的是构造一个随时间变化的Lyapunov函数，并且在这个过程中，您会遇到Lyapunov函数（）被称为递减等问题。那些不是经典的Lyapunov理论的一部分，Lyapunov理论涉及的是时不变的自治系统。最好的参考文献是Slotine和Li的控制理论课文。
评论
这是关于这些系统的论文。重新定义的定义和稳定性分析可能有助于理解github.com/stonier/thesis/blob/master/thesis.pdf