让我们用$ p $表示我们的均匀概率密度函数：
$ p（\ omega）= \ cfrac {1} {2 \ pi} $，因此$ p（\ theta，\ phi）= \ sin（\ theta）p（\ omega）$。
然后计算$ p（\ theta）$，$ p（\ phi | \ theta）$，将累积分布函数积分并求反。
我的问题是：
$ p（\ theta，\ phi）$到底是什么意思？
$ p（\ omega）$和$ p（\ theta，\ phi之间的转换是什么？ ）$？
在书中，找到$ p（\ theta，\ phi）$他们说$ p（\ theta，\ phi）d \ theta d \ phi = p（\ omega）d \ omega $，但是为什么呢？
我知道对于$ p（\ omega）$，我们的随机变量是给定的$ \ omega $（可怕，因此该函数表示该方向的相对概率（所以是立体角，因为相对项表示一个方向和该方向周围的面积）。
但是对于$ p（\ theta ，\ phi）$，我们的随机变量现在是夫妇$（\ theta，\ phi）$。它与方向有什么不同？
#1 楼
我不确定我是否已经正确理解了这个问题，但问题就解决了。您正在尝试统一采样路线，因此您有$ p（\ omega）$，这是获得特定方向的可能性。但是方向是什么？实际上，您需要概率分布才能以某种表示形式产生数字，并且最容易处理的表示形式是纬度长（即两个角度）。因此，您实际上需要采样的是成对的角度的概率分布。这就是$ p（\ theta，\ phi）$是两个变量的联合概率。
$ p（\ omega）$和$ p（\ theta，\ phi）$表示同样的东西在几何上是一样的，但是前者为您提供了无法直接采样的抽象方向，而后者更有用地为您提供了两个表示方向的数字。与您所提出的观点有关的不仅仅是一个方向。这些并不是真正的功能：它们是发行版。一个方向是无限的，因此您不可能只有一个方向。您实际上需要做的是将其集成到您感兴趣的方向上。
$$
\ int p（\ omega）d \ omega = \ int_0 ^ {2 \ pi} \ int_0 ^ \ pi p（\ theta，\ phi）d \ theta d \ phi = 1
$$
无论使用哪种表示形式，半球的积分都必须为1，因为它是一个概率分布。
我不确定是需要解释还是您已经理解，但这是$ sin（\ theta）$的由来。当您在右边进行双积分时，您会将问题分解为一系列环或单位球体的切片。每个环具有恒定的$ \ theta $，而$ \ phi $从$ 0 $变为$ 2 \ pi $。同样，每个单独的环的面积随着$ \ theta $的增加而减小：赤道处的环很大，而极点处的最后一个“环”很小。面积减小为$ sin（\ theta）$。因为我们希望球体的每个单位面积具有相同的概率，所以我们需要较小的环来获得较小的概率份额。
正如Florian R.解释的那样，您可以通过包括积分中的$ sin（\ theta）$因子，也可以像本书一样将其放在$ p（\ theta，\ phi）$的定义之内。
评论
$ \ begingroup $
在方程式中，您从笛卡尔坐标的积分转换为球坐标的积分。您不应该在其中添加sin（ϕ）来说明此坐标转换吗？或者，您可以定义p（θ，ϕ）= sin（ϕ）p（sin（ϕ）cos（θ），sin（ϕ）sin（θ），cos（ϕ）），但我认为这样会更清楚如果sin（ϕ）因子不同于p（θ，ϕ）。
$ \ endgroup $
–弗洛里安·R。
17年6月28日在10:07
$ \ begingroup $
@FlorianR。这个问题已经描述过sin（θ）在p（θ，ϕ）内。发问者似乎对此没有问题，这是一个附带问题，因此我并没有真正注意它。
$ \ endgroup $
–丹·赫尔姆
17年6月28日在11:32
$ \ begingroup $
@Yoo而是从ω积分到θ和integrating积分的转换是从笛卡尔积分到球坐标的转换。虽然您已经定义了p（ω）= sin（θ）p（θ，ϕ），但我宁愿不使用ω=（sin（ϕ）cos（θ），sin（ϕ）sin（θ ），cos（ϕ））并使用dω= sin（θ）dθdϕ。我认为应该清楚地表明p保持不变，我们只是在变换积分的坐标系。但是，这是主观的，如果您像以前一样重新定义p以包含sin（θ），则所得方程将完全相同。
$ \ endgroup $
–弗洛里安·R。
17年6月30日在4:41
$ \ begingroup $
@哟，对不起。丹（Dan）只是添加了一个解释，也许是为了帮助您形象化，它考虑使用纬度/经度的地图。南极看起来很巨大，如果您要整合经纬度的东西，则极地代表过多。 sin（θ）因子消除了朝向极点的这种偏见。另外，您可能想通过替代一般情况来阅读有关集成的内容。
$ \ endgroup $
–弗洛里安·R。
17年6月30日在12:25
$ \ begingroup $
通常这是不正确的，但是在这里是正确的，因为额外的约束要求分布是均匀的。任何概率分布都必须积分为1，但这一分布在各处也具有相同的值。 （或者换句话说，对于您集成的每个区域，两个积分必须相等。）
$ \ endgroup $
–丹·赫尔姆
17年7月1日在18:22
评论
@DanHulme您对这个帖子有任何答案吗？请注意，@ username通知仅适用于已对此特定帖子发表评论的用户。碰巧的是，提到的那个人恰巧发布了答案...
@trichoplax这不是一个完全的巧合。我想我确实收到了通知，因为我以前曾编辑过该问题，而该评论提醒我，我打算在我有更多时间时回来并发布答案。
有趣。我没有意识到编辑可以做到这一点。虽然有道理...感谢您告诉我。
@trichoplax我刚刚碰运气