为什么在过渡带较窄的数字滤波器的输出中出现振铃？

#1 楼

根据OP修改后的问题和其他评论进行编辑。与杰森的答案相关，
吉布斯现象是对周期但不连续的
傅里叶级数的截断和（第一个
$ n $项）的渐近行为的观察。 />信号，例如方波或锯齿波。 Wikipedia文章
说明了方波的示例，显示了随着越来越多的
项（$ n $变大），被截断的傅立叶和变得越来越近。方波。在方波从高到低或从方到低过渡的转换瞬间会出现振荡，但是随着$ n $变大，振荡会变得越来越小。正如Jason正确指出的那样，振荡的幅度变小，频率增加，（观察到的）持续时间也变小。总体来说，它看起来像被截断的傅立叶
总和在方波内收敛为$ n \ to \ infty $。


吉布斯现象可以观察到即使在$ n $达到$ \ infty $的极限
中，傅立叶级数总和也不会
在转换瞬间收敛到高值或低值
方波突然改变值的地方。 （收敛
确实在所有其他时间发生）。
与滤波本身无关，除了在某种意义上说
可以将被截断的傅立叶和视为理想砖的输出
低通壁带方波输入的滤波器。如果
滤波器截止值使得前$ n $个谐波
不变地通过且高次谐波被阻止，则
输出为前$ n $的截短傅立叶求和
条款。但是在极限情况下（即发生吉布斯现象
），没有滤波器：所有谐波都通过
传递到输出而没有任何变化。因此，我不同意
滤波器振铃是由于吉布斯现象引起的。


为什么会发生振铃？
所有（非平凡的）过滤器都会响起，无论它们是否为砖墙
，无论输入的形状如何
信号，以及输入是否为连续的
或有急剧的转变。原因是，如果输入
在停止的频带中具有能量（无论是完全还是大部分），该能量将有效地存储在滤波器内部，并在释放时缓慢释放。
随着时间的流逝带内能量逐渐增加。
在大多数情况下，该版本并未引起人们的广泛关注
，因为它被带内信号的响应淹没了
存在。但是，如果带内信号相对突然改变（或停止），则仍必须释放以前存储的能量，这是在振铃后观察到的振铃。带内信号已经消失。
用DSP术语来说，即使在
信号结束之后，FIR滤波器缓冲器仍会继续清空
，因此即使在信号结束之后，输出仍会继续。 br />由于锐截止过滤器具有较长的缓冲区
（如果需要，则有很多二阶部分），因此清空需要很长时间
，并且比使用更易于使用的过滤器要明显得多
排空很快。

#2 楼

您的观察结果就是吉布斯现象的一个例子。当您使用过渡带非常陡峭的滤波器时，您会观察到输入信号中任何陡峭的过渡（例如脉冲波形的边界）附近的滤波器输出（或“振铃”）中的振荡。振荡的表观“频率”取决于滤波器的带宽。随着您增加滤波器的截止频率，振荡将在时间上变得更加局部化（即“频率更高”），但是峰值过冲不会改变。上面链接的Wikipedia文章在大约一半时就给出了很好的解释。

#3 楼

正如杰森（Jason）指出的那样，存在一个基本的“不确定性原理”：频率非常窄的所有事物在时间上都是宽泛的，反之亦然。铃声。预振铃仅发生于线性相位滤波器。预振铃比后振铃更容易听见，因此在这里最小的滤波器往往是更好的选择。它可能在测量中看起来很糟糕，但除非极端，否则由于人耳听觉系统的某些掩蔽特性，振铃后的声音不是很容易听到。
振铃通常恰好在滤波器的转折频率处。即2 kHz低通滤波器将产生2 kHz振铃，因此频率是滤波器的函数，而不是内容的函数。内容虽然会有所不同。如果含量很少或没有2 kHz，则振铃不会很大。

#4 楼

具有陡峭过渡和平坦通带的带通滤波器接近矩形。

一个FT域中的矩形是另一域中的Sinc函数。对于在时域中的矩形窗口在频域中创建频谱“泄漏”而言，这是正确的。或对于频域中的矩形窗口在时域中创建螺旋包。矩形（带宽）越窄，Sinc越宽。 （并且Sinc函数在两侧都“响”）。对于一个域中给定的宽度，获得比另一个域中的Sinc能量范围更窄的东西的唯一方法是使用看起来比矩形更接近高斯的东西，例如没有陡峭的边缘。

现在考虑在一个域中移动该矩形（例如，更改带通滤波器的通带频率）。一个DFT域中的圆形移位是另一域中的线性相位旋转。具有复共轭的和会得到真实的响应，而两个相反且快速旋转的复指数螺旋数据包将成为振铃时域响应。振铃的速度将与带通中心频率相关，而振铃的长度将与带宽的窄度和过渡陡度相关。如果在信封消亡之前，螺旋旋转了超过半圈，则会产生振铃。使信封在一个域中更快消失的方法是在另一个域中使用更广泛的舍入函数。

第2部分：

如果您使用Remez或Parks-McClellen工具设计滤波器，则最终将得到等波纹响应。一个FT域中的正弦曲线是另一个FT域中的脉冲。因此，频域中的等脉动将是时域中的冲动或“滴答”。该“滴答”将被脉冲响应的中心在频域中由波动的“频率”所取代。 Remez设计的滤波器越平坦，纹波越快，脉冲响应中的“滴答声”就越多。那是预响的一部分。使用较不激进的滤波器设计方法来避免这种情况。