$$ x [n] {\ longrightarrow} \ boxed {h [n]} {\ longrightarrow} y [n] $$
我从未见过真正的世界滤波器，其中$ h [n] $的系数是复数的，或者$ x [n] $的系数是复数的序列。
但是，DSP书总是对共轭对称序列做很多事情，这意味着$ x [n] $或$ h [n] $由复数组成。
以下三种情况的实际用例是：
complex $ x [ n] $，实际$ h [n] $
实际$ x [n] $，复杂的$ h [n] $
复杂的$ x [n] $，复杂的$ h [n] $
现实实现中是否存在复数？
#1 楼
绝对！教科书中提到了共轭，因为共轭对真实信号没有影响，但对复杂信号却有影响。这样，公式就更通用了，适用于实值和复值信号。复数本身并不存在，它们是一种数学构造。可以说，它们的数学特性可以使用实际系统进行复制。您可以将实部和虚部分开，并将它们分别视为真实信号，但是您必须使用其他硬件才能这样做。这表明需要更多的电线来处理这两个组件，并需要额外的存储器来存储复杂的值。
在数字领域这尤其简单。但是，我将使用连续的时间信号以避免引入采样率，并且呈现起来更干净。
1。复杂的$ x（t）$，实际的$ h（t）$-移动平均滤波器
我们说我们有一个复杂的信号，它有噪声，您想对其进行平滑处理。一种方法是在信号上使用移动平均滤波器。这要求将滤波器分别应用于实部和虚部。在这个例子中，输入信号$ x（t）$是一个任意的带有噪声的复三角信号。移动平均滤波器由
$$ h（t）= \ frac {1} {L} $$
给出，因此输出为
$$ y（t）= x（t ）* h（t）= \ frac {1} {L} \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} x（t-\ tau）d \ tau $$
下图显示了过滤器平滑去除复杂的输入信号。
我们已经用实值系统处理了复杂的信号。这是一个非常具体的示例，因为有许多类型的实值系统在复杂（正交）输入上运行。
2。实数$ x（t）$，复杂$ h（t）$-使用低通的带通滤波器设计
使用傅立叶变换的频移属性，可以给定低通滤波器$ h（t）_ {LP} $来获得带通滤波器设计。使用此属性，我们可以将低通滤波器移动到所需频率$ f_0 $的中心，并由下式给出：$$ h（t）_ {BP} = h（t）_ {LP} \ space e ^ {j2 {\ pi} f_0t} $$
这样做会使$ h（t）_ {BP} $变得复杂，可以用来过滤信号。
假设我们有一个输入信号包含$ f_0 = 200 kHz $和$ 2f_0 = 400 kHz $的频率分量，但我们只希望$ f_0 $。我们可以从一个合适的低通滤波器$ h（t）_ {LP} $开始，然后应用频移来产生新的滤波器并处理信号。
$$ x（t）= cos（2 {\ pi } f_0t）+ cos（2 {\ pi}（2f_0）t）$$
$$ h（t）= h（t）_ {LP} \ space e ^ {j2 {\ pi} f_0t} $ $
下面我们可以看到我们使用频移设计的初始低通滤波器和带通滤波器。新滤波器按预期执行，我们将正弦曲线放在$ f_0 $。
我们已经用复数值系统处理了实信号。
3 。复杂的$ x（t）$，复杂的$ h（t）$-雷达LFM脉冲压缩
在脉冲多普勒雷达系统中，采用一种称为脉冲压缩的技术来实现两个良好的脉冲宽度（目标能量更好）同时保持良好的范围分辨率。通常，这是通过匹配滤波器来实现的，以在给定目标返回时实现最高SNR。
一种流行的调制方案是线性频率调制（LFM）。以线性调频带宽$ \ beta $和脉冲宽度$ \ tau $传输的复数LFM信号为
$ s（t）= e ^ {j {\ pi} \ frac {\ beta} {\ tau} t ^ 2} $$
对于以下示例，我们将使用10 MHz的带宽和10 $ \ mu $ s的脉冲宽度。下面显示了LFM脉冲的实部和虚部。
此波形的匹配滤波器由下式给出：$$ h（t）= s（-t）^ * = e ^ {-j {\ pi} \ frac {\ beta} {\ tau} t ^ 2} $$
来自目标的返回信号会延迟$ t_d $，因此我们将使用匹配滤波器处理的信号是
$$ x（t）= s（t-t_d）$$
卷积与匹配的滤波器一起产生的互相关输出为
$$ y（\ tau）= x（t）* h（t）= \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} x（t）h （t + \ tau）dt $$
使用延迟$ \ tau $，我们可以确定目标范围，因为我们知道我们的脉冲以光速行进。下面我们看到标称零延迟情况和目标在300 m处的匹配滤波器的输出。
我们已经用复数值系统处理了复信号。
评论
$ \ begingroup $
复数本身并不存在，它们是一种数学构造。好吧，实数也不是数学构造吗？我看不出两者之间有任何内在的区别。两者都是我们在世界上观察到的事物的数学抽象。我们更习惯谈论实数这一事实并不意味着它们更“真实”。 :-)
$ \ endgroup $
–真
20年6月25日在9:25
$ \ begingroup $
更重要的是：在第二个示例中，您所说的低通滤波器难道还只是一个较低频率的带通滤波器吗？另外，出于好奇，输出信号是否又是真实的？如果是，怎么会看到这一点？
$ \ endgroup $
–真
20年6月25日在9:29
$ \ begingroup $
@jhin输出信号必须是复杂的，因为正频率将不再是复共轭对称的，因为滤波器现在将消除负半频谱。即使他所谓的低通滤波器确实通过了一个“频带”，但这仍满足了低通滤波器的定义-它正在通过所有低频。带通是一种可阻挡所有低频和所有高频的带通，如果它具有相同的带，且在负频率中具有相反的相位，则该带通可以很复杂，如图所示或真实。
$ \ endgroup $
–丹·博申（Dan Boschen）
20 Jun 25'10:42
$ \ begingroup $
@DanBoschen哦，我明白了，谢谢-我不知何故想念'band'覆盖0。:-)
$ \ endgroup $
–真
20年6月25日在10:51
$ \ begingroup $
@jhin OP似乎很乐意将“实际”数字作为理解的公理基础。这样，将复数扩展为数学构造是一个简单的步骤，并且避免了形而上学。我希望我的声明不要断言实数实际上是“实数”。
$ \ endgroup $
– Envidia
20年6月25日在17:39
#2 楼
软件无线电（SDR）将真实的带通信号建模为复杂的基带信号。所有信号和滤波器都对复数进行运算。评论
$ \ begingroup $
但是，如果使用公式$ x_d [n] = x_c（nT）$对真实信号$ x_c（t）$进行采样，则信号$ x_d [n] $仍然是真实的...。那么，如果您考虑连续域$ h_c（t）= \ frac {\ Omega_c} {\ pi} \ text {sinc}（\ Omega_c t）$的理想LPF，则可以转换为以下离散系数：$ h_d [n ] = \ frac {\ omega_c} {\ pi} \ text {sinc}（\ omega_c n）$，并且$ h（t）$和$ h [n] $都是实数...所以复数在哪里进入时域的任何地方？有应用吗？当然，如果您转换为频域，则会得到复数，但是，我的问题只是关于时域的复数。
$ \ endgroup $
– Pipen
20 Jun 24'17:49
$ \ begingroup $
@pipen您可以阅读OFDM，其中我们从频域中的复数符号开始，然后执行IFFT操作以获取复数值的时域符号。然后，该复杂的时域符号在信道上传输。在传输之前，我们经常对这些时域复数符号进行一些脉冲整形和滤波。同样，在OFDM接收机端的时域接收到的复杂符号中也发生了许多数字处理。
$ \ endgroup $
–DSP新秀
20 Jun 24 '21：18
#3 楼
所有其他响应都非常出色，尤其是Envidia，因此我想补充一下这一非常直观的观点，以便迅速找出底线：考虑下面的频谱始于真实信号（正信号和负信号）频率是复共轭对称的）。这是我们可以用单个示波器探头（一个实数流）测量的值，在这种情况下，它表示一个通带信号。
如果将通带信号乘以一个复杂的LO（需要两个实数流）表示，例如通常以$ I + jQ $（实相为同相，虚部为正交）给出，甚至一个流作为幅度，另一个作为相位。因此，作为实际信号的顶部信号可以称为$ I_1 $，而复杂本地振荡器（LO）可以表示为$ I_2 + jQ_2 $，因此及时将乘积实现为$ I_1 I_2 + jI_1 Q_2 $，需要两个实数乘法器和一个加法器才能实际实现（但是，如果该实现表示“真实生活”，则该实现与$ I + j Q $一样多地表示复数）。
值得注意的是，产品结果在第三频谱中，原始频谱的右半部分已移至基带，但仍存在较高的负频率。这是一个复杂的信号（因此我将其称为$ x（t）$以与OP的问题保持一致）。这是一个带有实数$ h（t）$的复数$ x（t）$的示例：具体来说，我们希望对所得的复数信号$ x（t）$进行滤波，以去除高频分量并留给复数基带信号。值得注意的是，我们不想更改频谱，这意味着我们的滤波器应该是复共轭对称的（实数滤波器），其响应在正半波和负半波上均相等。
如果我们反而希望修改正负半频谱（此方法的常见应用是均衡，在此过程中其他原因导致我们想要撤消的失真），那么这将是复杂$ x（ t）$和最后一行所示的复杂$ h（t）$。
没有显示，我们可以有一个真实的信号，它具有对称的频谱，但我们希望引入不对称性，并且一个例子是预失真，在引入复杂（不对称）失真之后，我们可以在频谱经过失真进行预补偿之前对其进行失真处理，而不是进行均衡补偿-这将是实际$ x（ t）$与复杂的$ h（t）$。
#4 楼
您应该探索如何使用调制波形在通道（大气或电线）上传输这些复杂的时域符号。同样，一个很好的起点就是弄清楚复数只不过是2个正交/垂直维度。当我们说$ x = 3 + 3i $时，我们基本上是说我们有一对数字在彼此垂直的方向上，意味着一个在另一个上的投影为零。想一想如何利用现实世界的有限长度电磁波形来实现这一目标。真实世界的波形，因为我们需要在这个世界上进行通信，并且长度有限，因为我们需要在有限的时间内进行一些信息通信。
您认为$ \ sin {2 \ pi t} $和$ \ cos {2 \ pi t} $的一个完整周期在某种意义上彼此正交吗？测量正交性的一种不错的方法是取两个函数的内积，它们是：
$$ \ int ^ {1} _ {0} \ sin（2 \ pi t）。\ cos（2 \ pi t）dt = \ int ^ {1} _ {0} \ frac {1} {2} \ sin（4 \ pi t）dt = 0 $$
您可以看到内积为0 ，因此这两个波形彼此正交。更重要的是，它们存在于自然界中，因此我们将其称为EM Waves。
由于我们已经确定了这两个有限长度（$ t = 0 $ sec到$ t = 1 $ sec）彼此垂直。现在，我们可以在时域中创建一个现实世界的复杂波形，其等效于$ x = 3 + 3i $。怎么样？通过将$ \ cos2 \ pi t，\ t \ in [0,1] $设为实轴，并将$ \ sin2 \ pi t，\ t \ in [0,1] $设为虚轴。因此，我们的复杂时域波形变为：
$$ x_c（t）= 3 \ cos（2 \ pi t）+ 3 \ sin（2 \ pi t），\ t \ in [0,1] $$
该波形完全存在于自然界中，可用于传达复杂的QAM符号。我已极大地简化了传达图片的过程。希望你能明白。
此外，如果您有与每个维度相对应的N个正交波形，则甚至可以使用更高的维度并以N维的形式传输现实世界中现有的波形。一个简单的示例是长度为$ \ frac {T} {4} $的四个矩形脉冲，其中心为$ \ frac {T} {8}，\ frac {3T} {8}，\ frac {5T} {8} \和\ \ frac {7T} {8} $。因此，一个完整的4维符号将花费时间$ T $表示在这些正交波形上。
#5 楼
这是真实信号自适应滤波的实际应用。并当心！我们使用了1抽头复杂滤波器，即仅具有一个模数/相位系数的滤波器，我们将其称为“一元滤波器”。该方法已在“多地震反射的自适应滤波方法”中获得专利，该方法在《地球物理学》中以有限的形式发表：自适应多重减法，基于小波的复杂一元Wiener滤波器，在公司（CGG）中用于代号为WAFEL的去重任务。这是故事。
波在地下层之间反弹。它们称为倍数。一些地球物理模型可以预测它们，但并不完美。应当沿着深度自适应地在幅度和相位上适应它们。因此，人们对模型进行自适应滤波，以将其减去到数据中，并恢复有用的地震反射。通常，这是在大大小小的重叠窗口上分几次执行的，以补偿较大的滞后和较小的偏移。这需要调整实际自适应滤波器的长度。
我们正在复杂领域中努力实现这一目标。第一步是将一维信号转换为二维复小波比例尺图（CWT）。然后，由于它是一个单独的复数信号，因此在小波域中独立于每个（复数）子带帧执行自适应滤波。在那些滑动窗口上，复杂的$ a $过滤器恰好是1抽头。每个帧都经过自适应滤波，它们都被逆变换为真实的匹配滤波信号。确实非常快：只需解决
$$ a_textrm {opt} = \ arg \ min_a \ | d-am \ | ^ 2 $$
其中$ d $和$ m $其中小波子带中复系数的窗口。确实，时域中的等效滤波器将是真实且漫长的。用合理的地球物理解释进行评估很复杂，但是过程的速度是一个选择的参数：
评论
x [n]，h [n]和y [n]是什么意思？相关：这个答案。
就像“实数”一样多！您同样可以说两者都不存在于现实世界中，因为两者都是我们用来描述现实世界的抽象。我们可以同等使用-不幸的是，我们将实数命名为“ real”！
“ [...] DSP书籍总是对共轭对称序列做很多工作。”您能分享一下这本书的意思，以及他们在哪提到这本书？
@DanBoschen这！ （在阅读注释之前，只需在一个答案下面写一个几乎相同的注释。）如果信号是二维信号，并且要对其进行过滤，则可以将其称为“复杂信号”并继续进行一维滤波复杂的过滤器。 :-)