傅立叶变换4倍=原始函数（来自Bracewell书）

#1 楼

我将使用非单一傅立叶变换（但这并不重要，它只是一个首选项）：
$$ X（\ omega）= \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} x（t ）e ^ {-i \ omega t} dt \ tag {1} $$
$$ x（t）= \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty } X（\ omega）e ^ {i \ omega t} d \ omega \ tag {2} $$
其中（1）是傅立叶变换，而（2）是傅立叶逆变换。
现在，如果您正式采用$ X（\ omega）$的傅立叶变换，则会得到
$$ \ mathcal {F} \ {X（\ omega）\} = \ mathcal {F} ^ 2 \ {x （t）\} = \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} X（\ omega）e ^ {-i \ omega t} d \ omega \ tag {3} $$
比较（3）与（2）一起，我们有
$$ \ mathcal {F} ^ 2 \ {x（t）\} = 2 \ pi x（-t）\ tag {4} $$
所以傅立叶变换等于带独立变量正负号变化的傅立叶逆变换（由于使用非-傅立叶变换而导致比例因子变化）。
由于$ x（-t）$的傅立叶变换等于$ X（-\ omega）$，（4）的傅立叶变换是
$$ \ mathcal {F} ^ 3 \ {x（t）\} = 2 \ pi X（-\ omega）\ tag {5} $$
并且，通过类似于o的参数如果在（3）和（4）中使用，则$ X（-\ omega）$的傅立叶变换等于$ 2 \ pi x（t）$。因此，我们获得了（5）
$$ \ mathcal {F} ^ 4 \ {x（t）\} = 2 \ pi \ mathcal {F} \ {X（-\ omega）\ } =（2 \ pi）^ 2x（t）\ tag {6} $$
，这是理想的结果。注意，（6）中的因子$（2 \ pi）^ 2 $是使用非unit傅里叶变换的结果。如果使用单一傅立叶变换（该变换及其逆均得到因子$ 1 / \ sqrt {2 \ pi} $），则该因子将消失。
总之，除无关紧要的常数因子外，您得到的
$$ \ bbox [＃f8f1ea，0.6em，边框：0.15em solid＃fd8105] {x（t）\ overset {\ mathcal {F}} {\ Longrightarrow} X（\ omega）\ overset {\ mathcal {F}} {\ Longrightarrow} x（-t）\ overset {\ mathcal {F}} {\ Longrightarrow} X（-\ omega）\ overset {\ mathcal {F}} {\ Longrightarrow} x（t）} $$