FFT时域平均值与频点平均值

#1 楼

让我澄清一下。


傅立叶变换不代表信号的直方图。傅立叶变换是一种线性变换，它将信号从时域（复函数）传递到频域（另一个复函数）。它需要将一个复数函数转换为另一个复数函数。
傅立叶变换是线性的，如上面的提示所指出。
样本中的相位如上所述。如果逐项试验数据的相位不同，则您不希望在进行傅立叶变换之前进行平均，但也不想在进行傅立叶变换之后进行平均。您想要在傅立叶变换和范数后求平均值。我将在下面尽可能详细地说明需要做的事情。

这里的主要问题是问题是错误的。它不是“我应该在平均之前或之后进行傅立叶变换”。因为它不会因傅立叶变换的线性而有所不同。

正确的问题是“我应该在平均之前或之后取傅里叶变换的幅度”。对于这个问题，答案是之前。

以下是详细信息。

假设您的采样数据由以下序列表示：

$ d_1 = d_1 [n_1]，d_1 [n_2]，... d_1 [n_N] $

$ d_2 = d_2 [n_1]，d_2 [n_2]，... d_2 [n_N] $

$ d_3 = d_3 [n_1]，d_3 [n_2]，... d_3 [n_N] $

...

$ d_M = d_M [n_1]，d_M [n_2]，... d_M [n_N] $

其中$ d_1，... d_M $是来自M次试验的数据，$ n_1，... n_N $是采样的时间点，则：

$ F_1 = \ sum_ {j = 1 } ^ M {| \ mathcal {F} \ {d_j \} |} \ neq | \ mathcal {F} \ {\ sum_ {j = 1} ^ M {d_j} \} | = F_2 $

因此，虽然变换$ \ mathcal {F} $是线性的，但$ | \ mathcal {F} | $却不是。

另外，而$ d_j [n_i] $对于所有$ i，j $是真实的，$ \ mathcal {F} \ {d_j \} $不是，但$ | \ mathcal {F} \ {d_j \} | $是真实的。

至于您应该做什么，您应该对单个试验进行傅立叶变换（通过FFT），获得单个试验的幅度，然后将它们平均起来。

最后，什么是$ 1 / f $。 $ 1 / f $是“自然”信号（通常人们会想到的图像）频谱的短期称呼。

当人们说$ 1 / f $的成分很大时，表示振幅作为频率的函数看起来像$ 1 / f $。这完全是手工挥舞的...可能来自生物学家：$ 1 / f $的傅立叶逆变换是一些符号函数，但这没用。这是一个假想的符号功能！实函数会产生对称的傅立叶变换。

实际上，频谱是$ 1 / f $，可以告诉您有关信号的某些信息，但不能让您恢复信号。您所知道的只是$ | \ mathcal {F} \ {x（t）\} | = | 1 / f | $。这并不能让您唯一地确定$ x（t）$，因为所有相位信息都已消失，而且我们知道信号的结构很大程度上取决于其相位。

$ 1 / f是什么$告诉你吗？简单地说，它包含很多低频和一点高频。

同样重要的一个问题是，平均会买到什么？更重要的是如何解释结果？明天收听，进行更深入的讨论：p

#2 楼

首先，FFT是一种算法。该变换称为傅立叶变换！它代表信号的直方图。在离散情况下，频域中的高读数意味着该频率上的大量能量。

不要在FFT之前对数据求平均，因为相位信息会引起数据的显着变化。

想象两个样本，每个样本都包含一个纯余弦。在现实世界中，您永远不会在完全相同的起点上捕获此余弦。一个余弦将被替换为另一余弦（或者两个余弦将被替换为开始。数学上这是说y1 = cos（wt-A）y2 = cos（wt-B）其中A和B是偏移。在您的模型中两个更好地表现为同一件事。通过一点数学运算，我可以选择这些值，以使y2-y1 = 0。零的平均值为零，并且完全不是您想要的。这是相位问题。

如果您的目标是找到应该在整个光谱中平均的平均光谱，请不要对信号进行平均！

#3 楼

除非我完全不了解或误解您的问题，否则答案是肯定的：通过DFT的线性，对信号进行平均，然后取平均值的DFT等于对信号的DFT进行平均。

为了显示这一点，让我们定义一些变量：


$ x_ {n} [\ ell] $：$ \ ell ^ {th} $-时间的时域示例$ n $
$ X_ {k} [\ ell] $：$ \ ell ^ {th} $试用频率为$ k $的频域样本

时域由$ \ frac {1} {L} \ sum _ {\ ell = 0} ^ {L} x_ {n} [\ ell] $给出。以其DFT，我们有

$ \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} \ frac {1} {L} \ sum _ {\ ell} ^ {L} x_ {n} [\ ell] e ^ {-i 2 \ pi kn / N} $。

切换求和顺序，我们可以写

$ \ frac {1} {L} \ sum _ {\ ell = 0} ^ {L} \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x_ {n} [\ ell] e ^ {-i 2 \ pi kn / N}，$

，但这与

$ \ frac {1} {L} \ sum _ {\ ell = 0} ^ {L} X_ {k} [l]相同$

，这与平均每个trival的DFT相同。这就是我们想要展示的。