据我所知，DFT使用$ e ^ {i2 \ pi kn / N} $作为基向量，给出表示形式$ x [n] = \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} X [k] e ^ {i2 \ pi kn / N} $$总和从$ k = 0 $写入$ N-1 $由于历史原因，我认为与其以类似于傅立叶级数的方式写，总和从$ k = -N / 2 $到$ N / 2-1 $：$$ x [n] = \ sum_ {k = -N / 2} ^ {N / 2-1} X [k] e ^ {i2 \ pi kn / N} $$
这取决于DFT的特殊异常频率与负频率相同：$ e ^ {i2 \ pi kn / N} = e ^ {i2 \ pi（kN）n / N} $。
继续用傅立叶级数进行类比实际DFT提供了表示形式
$$ x [n] = \ sum_ {k = 0} ^ {N / 2} \ left（X_R [k] \ cos \ left（\ frac {2 \ pi kn} { N} \ right）-X_I [k] \ sin \ left（\ frac {2 \ pi kn} {N} \ right）\ right）$$
这可以视为配对$ e ^ {i2 \在DFT表示中具有$ e ^ {-i2 \ pi kn / N} $的pi kn / N} $，其总和从$ k = -N / 2 $到$ N / 2-1 $。这非常类似于配对$ c_n e ^ {in \ theta} + c _ {-n} e ^ {-in \ theta} = a_n \ cos n \ theta + b_n \ sin n \ theta $傅里叶级数：$$ \ sum _ {-\ infty} ^ \ infty c_n e ^ {in \ theta} = \ frac {a_0} {2} + \ sum_1 ^ {\ infty}（a_n \ cos n \ theta + b_n \ sin n \ theta）$$
那么我的问题是，为什么DFT比真正的DFT如此普遍？人们会期望，由于真实的DFT使用真实的正弦和余弦作为基础，因此可以更好地表示几何图形，而人们会更喜欢它。我可以看到为什么在理论上首选DFT和连续傅立叶变换，因为指数的代数更简单。但是忽略实际的代数，从实际的计算应用角度来看，DFT为什么会更有用？为什么用复杂的指数表示信号在各种物理，语音，图像等应用中比将信号分解为正弦和余弦更有用。另外，如果我想知道我上面的论述中缺少什么细微之处，我会感到困惑：DFT被认为与连续傅立叶变换比与傅立叶级数更相关。
#1 楼
复数DFT或复数傅里叶变换或复数傅里叶级数的优点是线性
系统具有很好的特性，对$ A \ exp（j \ omega t）$的响应是
$ H（\ omega）A \ exp（j \ omega t）$。 （这里$ A $可以是一个复数常量）。
所以输出只是输入的标量倍数。
更重要的是，如果我们将输入表示为加权的话复指数的和，输出就是相同指数的另一个加权和。不同的权重，但指数组相同。此外，每个新的权重
是通过将旧的权重乘以适当的数字而获得的。至少到今天为止，
人们总是希望将来能有更好的事情。同时，
我们采用复杂信号的实部，或者通过线性和叠加获得对$ \ cos（\ omega t）$或
$ \ sin（\ omega t）$的响应和自由使用
$$ \开始{align *}
\ cos（\ omega t）＆= \ frac {\ exp（j \ omega t）+ \ exp（-j \ omega t）} {2} \\
\ sin（\ omega t）＆= \ frac {\ exp（j \ omega t）-\ exp（-j \ omega t）} {2j}
\ end {align *} $$
相反，对$ \ cos（\ omega t）$的响应形式为
$ B（\ omega）\ cos（\ omega t）+ C（\ omega）\ sin（\ omega t）$。因此，
线性和叠加等都起作用时，输出
可能需要使用与
输入不同的基函数。当然，它们之间的关系非常密切，但可能仍然需要不同，甚至可能需要更多的基础函数。对于
示例，输入$ \ cos（\ omega t）$由一个基函数表示，
输出$ B（\ omega）\ cos（\ omega t）+ C（\ omega）\ sin （\ omega t）$由两个基本函数组成。可以说，复杂函数
需要的工作量是真实函数的两倍，因此任何节省都是纯粹的虚构（双关语意味），但是复杂的表示允许统一处理，而sin / cos表示则不这样做。快！
对$ \ cos（\ omega t）$的响应为
$ B（\ omega）\ cos（\ omega t）+ C（\ omega）\ sin（\ omega t） $，
对$ \ sin（\ omega t）$的响应是什么？您需要做些工作
，您可能需要调用诸如
$$ \ cos（\ alpha + \ beta）= \ cos（\ alpha）\ cos（\ beta）的公式- \ sin（\ alpha）\ sin（\ beta）$$
等。有了复杂的指数，生活就容易了很多。
应避免使用指数，您可以自由选择。
如果您很难将想法传达给同事，老板，客户或顾问，那将是他们的损失，而不是您的损失。
评论
实数离散傅里叶变换之所以重要，是因为将通常的DFT应用于实数序列会导致某些冗余，因为对于长度为$ N $的实数序列$ x_0，x_1，\ dots，x_ {N-1} $相应的转换$ X_0，X_1，\ dots，X_ {N-1} $，序列$ X_ {N-1}，X_ {N-2}，\ cdots，X_ {N / 2 + 1} $恰好是序列$ X_1，X_2，\ dots，X_ {N / 2-1} $的复共轭。因此，有理由认为，只需要与变换的正频率相对应的条目即可。在这种情况下，还会遇到所谓的Hartley变换。两种方法都被使用。顺便说一句：我强烈建议阅读有关真实傅里叶变换和Hartley变换的这两篇论文。他们很好地解释了DFT本身对这些方法的兴趣。
RDFT的矩阵和DFT的矩阵是通过基础的变化关联的吗？而且，基数的变化实际上是与如何用两种方式表示傅立叶级数的系数相关的反映：系数$ c_n e ^ {in \ theta} + c _ {-n} e ^ {-in \ theta} = a_n \ cos n \ theta + b_n \ sin n \ theta $。在DFT中，关键点是应该将较高的频率视为负频率，以便可以进行$ c_n e ^ {in \ theta} + c _ {-n} e ^ {- in \ theta} $来获得傅立叶级数中的正弦和余弦，从而得到RDFT
Van Loan中的一章详细介绍了您的问题。假设您掌握了操作Kronecker产品的技能。
至少您应该比现在有更少的问题。