fft和/或ifft函数的输出在进行分析之前通常需要进行额外的处理。 缩放
Mathworks指出
fft和ifft函数基于以下公式：\ begin {align}
X [k]＆= \ frac {1} {1} \ cdot \ sum_ {n = 1} ^ {N} x [n] \ cdot e ^ {\ frac {-j \ cdot 2 \ pi \ cdot（k-1）\ cdot（ n-1）} {N}}，\ quad \ textrm {where} \ quad 1 \ leq k \ leq N \\
x [n]＆= \ frac {1} {N} \ cdot \ sum_ {k = 1} ^ {N} X [k] \ cdot e ^ {\ frac {+ j \ cdot 2 \ pi \ cdot（k-1）\ cdot（n-1）} {N}}，\ quad \ textrm {where} \ quad 1 \ leq n \ leq N
\ end {align}
按信号长度缩放
我的同伴通常在处理
fft之后立即按$ \ small \ frac {1} {N} $缩放数据。（我们在缩放之前不考虑原始
fft数据。）%% Perform fft X_f = fft(x, n_sample, 1) / n_sample; % fft must be normalized by the number of samples in the data. % This convention was set by the software developer (Mathworks).
对吗？
如果是这样，为什么MATLAB
ifft函数期望我们尚未按$ 1 / N $进行缩放？是否存在不支持MATLAB
ifft的函数或函数选项？会自动按$ 1 / N $缩放吗？或者，在放置$ 1 / N $时是否有更好的约定？例如，将$ 1 / N $放置在
fft中而不是ifft中，或者在两个等式中放置$ 1 / \ sqrt {N} $而不是$ 1 / N $？按采样周期进行缩放
我听说
fft和ifft函数假设采样周期$ T _ {\ rm采样} = 1 / f _ {\ rm采样} = 1 $，并且为了使这些函数正确，需要执行以下操作：\开始{align}
X [k]＆= \ frac {1} {T _ {\ rm采样}} \ cdot \ sum_ {n = 1} ^ {N} x [n] \ cdot e ^ {\ frac {-j \ cdot 2 \ pi \ cdot（k-1）\ cdot（n-1） } {N}}，\ quad \ textrm {where} \ quad 1 \ leq k \ leq N \\
x [n]＆= \ frac {T _ {\ rm采样}} {N} \ cdot \ sum_ {k = 1} ^ {N} X [k] \ cdot e ^ {\ frac {+ j \ cdot 2 \ pi \ cdot（k-1）\ cdot（n-1）} {N}}，\ quad \ textrm {where} \ quad 1 \ leq n \ leq N
\ end {align}
查看链接：
链接1（请参阅Seis博士对Matt Szelistowski的评论）
链接2（请参阅Rick的回答）罗森（Rosson）与塞斯（Seis）博士的观点
链接3（见Matt（消息：7/16）评论和Poorya（14/16）发表评论
链接5（请参阅第8 + 9页）[似乎他在对fft和ifft使用逆约定]。
这是真的吗？
我很生气，因为我在维基百科上找不到任何包含采样周期的DFT或DTFT方程。
#1 楼
是否将正向FFT缩放1 / N取决于要进一步分析的结果：能量（保留Parseval的身份）或幅度（测量高度或伏特等）。如果要测量或分析能量，则不要按1 / N进行缩放，而具有相同幅度的较长正弦波将产生较大的FFT结果，而较长的正弦则与较长的能量成比例信号。
更常见的一点是，如果要测量或分析幅度，则获得更长的正弦曲线（因此在相同的幅度下具有更多的总能量）可产生与较短的信号大致相同的FFT结果，您将需要按与长度成比例的比例按比例缩小FFT总和。该比率可以是reference_length / N，如果您选择用于进一步分析的任何维度或单位（包括时间间隔维度）的系统输入增益为1.0，则有时为1 / N。您需要按比例缩小比例，因为DFT是求和：对相似项求和的次数越多，结果就越大。
所以。能量或振幅。您想要哪个？
现在，如果按比例缩小正向FFT，则不应按比例缩小，以使IFFT（FFT（x））== x。否则反之亦然。
我认为用于缩放的1 / sqrt（N）是用于以下情况：需要某种形式上的对称性来进行证明，或者构建某种形式的硬件流水线时DFT和IDFT的算术单元/门的数量和/或数量必须相同。但是，对于任何典型类型的工程分析，都无法很好地直接测量能量或振幅。
评论
$ \ begingroup $
当您说“如果要测量能量时，不要按$ 1 / N $进行缩放” ...我不需要按$ 1 / \ sqrt N $进行缩放，以便变换是单一的，节省能量？还是因为我需要对整个信号求平方才能获得有效产生$ 1 / N $的能量？但是，如果这是真的，那么$ 1 / \ sqrt N $实际显示给我的频谱是多少？
$ \ endgroup $
– LCsa
17年8月24日在9:59
$ \ begingroup $
另外，当说“因此，在相同的振幅下具有更多的能量”时，您是说“频率”吗？
$ \ endgroup $
– LCsa
17年8月24日在10:09
#2 楼
Matlab使用的缩放惯例在DSP中很常见。您也可以使用单一DFT，其中DFT和IDFT都按$ 1 / \ sqrt {N} $的比例缩放。您还可以将DFT的系数$ 1 / N $和IDFT的系数$ 1 $使用。只要您保持一致，就没有关系（除了数值方面的考虑，尤其是在使用定点实现时）。因此，没有“更好的”约定，只有“约定”，您只需要就使用哪种约定达成共识。评论
% fft must be normalized by the number of samples in the data. % This convention was set by the software developer (Mathworks).
是错误的。没有人说您必须标准化FFT的结果。如果您愿意，也可以自由地这样做。
此外，FFT也不假设采样周期$ T $。请注意，DFT可以用于本质上离散的数据，而无需任何采样。根据您的数据以及对结果的处理方式，必须相应考虑$ T $。例如，如果要使用DFT（由FFT实现）来近似连续时间傅立叶变换，则会得到以下表达式：
$$ X \ left（\ frac {2 \ pi k} {NT} \ right）\ approx T \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x（nT）e ^ {-j2 \ pi kn / N}，\ quad 0 \ le k
其中$ T $是采样周期，$ N $是DFT长度，$ x（t）$是连续时间信号，$ X（\ omega） $是其连续时间傅立叶变换。 $（1）$的右侧只是$ x $（t）$的$ N $个样本的DFT，按$ T $缩放，这里我们假设$ x（t）$的相关部分位于范围$ t \ in [0，NT] $。有关使用DFT近似连续时间傅立叶变换的更多详细信息，可以在此答案中找到。
评论
$ \ begingroup $
什么是反对票？请评论。
$ \ endgroup $
– Matt L.
16年7月6日在19:34
$ \ begingroup $
我通常以无记名投票的方式进行投票，但是这次我会例外。取决于人们对DFT所做的事情，肯定有比其他更好的约定。 （但在所有情况下，没有哪个公约比其他公约更好。）
$ \ endgroup $
–罗伯特·布里斯托-约翰逊
16年7月6日在20:22
#3 楼
特别是由于这是一个关于约定的问题，因此我不会加强MATLAB的荒谬约定，只会回答正确和适当的约定。也就是说，MATLAB的DFT索引是不正确的，但是我对这三种常见的缩放约定中的哪一个非常不可知。我也不限制$ 0 \ le n
so
$$ x [n + N] = x [n] \ quad \ quad \ forall \ n \ in \ mathbb {Z} $$
$$ X [k + N] = X [k] \ quad \ quad \ forall \ k \ in \ mathbb {Z} $$
还可以在“时域”（$ x [n] $）或“频域”（ $ X [k] $）与所有约定一致地定义：
$$ h [n] \ circledast x [n] \ triangleq \ sum_ {i = 0} ^ {N-1} h [i] x [ni] = \ sum_ {i = 0} ^ {N-1} x [i] h [ni] $$
$$ W [k] \ circledast X [k] \ triangleq \ sum_ {i = 0} ^ {N-1} W [i] X [ki] = \ sum_ {i = 0} ^ {N-1} X [i] W [ki] $$
，因此一个约定优于另一个约定（假设两个约定均有效）的唯一好处就是可以简化某些定理的表达。
DFT：
$$ \ begin {align}
\ mathcal {DFT} \ {x [n] \}和\ triangleq X [k] \ triangleq \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x [n] \，e ^ {-j 2 \ pi kn / N} \\
\ mathcal {iDFT} \ {X [k] \}＆\ triangleq x [n] = \ frac {1} {N} \ sum_ {k = 0} ^ { N-1} X [k] \，e ^ {+ j 2 \ pi kn / N} \\
\ end {align} $$
具有简化循环的优点“时域”中的卷积
$$ \ mathcal {DFT} \ {h [n] \ circledast x [n] \} = H [k] \ cdot X [k] $$
但是如果您在“频域”中卷积，则有一个比例因子需要担心：
$$ \ mathcal {iDFT} \ {W [k] \ circledast X [k] \} = \ frac {1} {N} \ cdot w [n] \ cdot x [n] $$
Parseval定理也有比例因子值得担心。
$$ \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} \ Big | x [n] \ Big | ^ 2 = \ frac {1} {N} \ sum_ {k = 0} ^ {N-1 } \ Big | X [k] \ Big | ^ 2 $$
和对偶定理：
$$ \ mathcal {DFT} \ {X [n] \ } = N \ cdot x [-k] $$
$$ \ mathcal {iDFT} \ {x [k] \} = \ frac {1} {N} \ cdot X [-n] $$
DFT的另一种常见缩放约定：
$$ \ begin {align}
\ mathcal {iDFT} \ {X [k] \}和\ triangleq x [n] \ triangleq \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} X [k] \，e ^ {+ j 2 \ pi kn / N} \\
\ mathcal {DFT} \ {x [n] \}和\ triangleq X [k] = \ frac {1} {N} \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x [n] \，e ^ {- j 2 \ pi kn / N} \\
\ end {align} $$
的优点是，从概念上讲，它与傅立叶级数稍微靠近，其中$ e ^ {j \ omega_k n} \ triangleq e ^ {j（2 \ pi k / N）n} $是四个ierier基函数和$ X [k] $是傅里叶系数。因此，如果您正在查看原始时域数据$ x [n] $，并在$ N $样本的缓冲区中看到具有$ k $个周期的正弦曲线，且振幅为（零峰值）A $ ，则表示$ \ Big | X [k] \ Big | = \ Big | X [-k] \ Big | = \ Big | X [N-k] \ Big | = \ frac {A} {2} $。
它在频域中的循环卷积方面也更加简单
$$ \ mathcal {iDFT} \ {W [ k] \ circledast X [k] \} = w [n] \ cdot x [n] $$
但是，如果您在时间中卷积，则必须担心缩放比例因子域：
$$ \ mathcal {DFT} \ {h [n] \ circledast x [n] \} = \ frac {1} {N} \ cdot H [k] \ cdot X [ k] $$
Parseval定理也有比例因子值得担心。
$$ \ frac {1} {N} \ sum_ {n = 0} ^ { N-1} \ Big | x [n] \ Big | ^ 2 = \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} \ Big | X [k] \ Big | ^ 2 $$
和对偶定理：
$$ \ mathcal {DFT} \ {X [n] \} = \ frac {1} {N} \ cdot x [-k] $$
$$ \ mathcal {iDFT} \ {x [k] \} = N \ cdot X [-n] $$
DFT的单位缩放惯例与它的逆，并在变换或逆变换中保留能量：
$$ \ begin {align}
\ mathcal {DFT} \ {x [n] \}和\ triangleq X [k ] \ triangleq \ frac {1} {\ sqrt {N}} \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x [n] \，e ^ {-j 2 \ pi kn / N} \\
\ mathcal {iDFT} \ {X [k] \}和\ triangleq x [n] = \ frac {1} {\ sqrt {N}} \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} X [ k] \，e ^ {+ j 2 \ pi kn / N} \\
\ end {align} $$
时域或频域中的卷积具有相同的比例因子担心：
$$ \ mathcal {DFT} \ {h [n] \ circledast x [n] \} = \ frac {1} {\ sqrt {N}} \ cdot H [ k] \ cdot X [k] $$
$$ \ mathcal {iDFT} \ {W [k] \ circledast X [k] \} = \ frac {1} {\ sqrt {N }} \ cdot w [n] \ cdot x [n] $$
，但是Parseval的定理没有比例因子值得担心。
$$ \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} \ Big | x [n] \ Big | ^ 2 = \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} \ Big | X [k] \ Big | ^ 2 $$
对偶定理也没有：
$$ \ mathcal {DFT} \ {X [n] \} = x [-k] $$
$$ \ mathcal {iDFT} \ {x [k] \} = X [-n] $$
评论
$ \ begingroup $
在谈论DFT约定时，通常只涉及缩放因子，而不涉及未发出索引的问题。如果您以为那是通用的DSP约定，而您以为我是在指索引，那是一种误解。我当然提到了缩放。索引是完全不相关的，因为它与DFT的定义无关（并且与缩放无关）。
$ \ endgroup $
– Matt L.
16年7月6日在20:04
$ \ begingroup $
当您在MATLAB中使用max（abs（X））函数查找光谱峰的位置并且忘记从返回的索引中减去1时，这不是他妈的“非问题”要做数学。这是一个问题。对此感到悲伤。索引原点与“ DFT的定义”与缩放一样重要。它与是否需要簿记有关。
$ \ endgroup $
–罗伯特·布里斯托-约翰逊
2016年7月6日20:11
$ \ begingroup $
可能是我，但这次不是:)但是，尽管如此，我还是不同意您对索引的重视，但是我很欣赏那是个人的。同样，请不要犹豫，因为我感谢您投入时间进行回答。
$ \ endgroup $
– Matt L.
16年7月6日在20:53
评论
顺便说一句，kando只是使用MATLAB声明了它：$$ \ begin {align} X [k]＆= \ sum_ {n = 1} ^ {N} x [n] \ cdot e ^ {\ frac {-j 2 \ pi（k-1）（n-1）} {N}}，\ quad \ textrm {where} \ quad 1 \ le k \ le N \\ x [n]＆= \ frac {1 } {N} \ cdot \ sum_ {k = 1} ^ {N} X [k] \ cdot e ^ {\ frac {+ j 2 \ pi（k-1）（n-1）} {N}}， \ quad \ textrm {where} \ quad 1 \ le n \ le N \ end {align} $$，但是我不得不说，MATLAB的这种硬接线惯例将DC放入bin＃1（或频率分量$ k的幅度） $放入垃圾箱$ k + 1 $）让我他妈的疯了!!!!