经常被问到“稀疏定义是什么？”。我回答“如果信号的大多数元素在傅立叶或小波等域中为零或接近零，则该信号在此基础上是稀疏的。”但是此定义始终存在一个问题，即“大多数元素是什么意思？是90％？80％？是92.86％？！”这是我提出问题的地方，是否有稀疏的确切定义（即数字）？
#1 楼
“是否有稀疏的确切定义，即数字定义？”通过数值，我理解可计算的和实际的“可用”。我的看法是：至少还没有达成共识，但仍有一些有价值的竞争者。第一个选项“仅计数非零项”是精确的，但是效率不高（对数值逼近和噪声敏感，并且优化起来非常复杂）。第二种选择“信号的大多数元素为零或接近零”在“大多数”和“接近”上都不太精确。因此，“稀疏性的精确度量”仍然难以捉摸，没有更多正式的方面
最近一次尝试定义稀疏性的尝试是在Hurley和Rickard，2009年比较稀疏性的措施，IEEE信息理论交易中。 ;例如，信号$ x $乘以非零常数$ \ alpha x $应该具有相同的稀疏性。换句话说，稀疏性度量应该是均匀的$ 0 $。有趣的是，压缩感测或套索回归中的$ \ ell_1 $代理是同质的$ 1 $。每个规范或准规范$ \ ell_p $的情况确实如此，即使它们倾向于将（非稳健）计数度量$ \ ell_0 $当作$ p \ to 0 $。
因此，他们详细说明了它们的六项公理，进行了计算，从财富分析中借来了：
罗宾汉（从富人手中夺取，贫富则减少了稀疏性），
定标（不变乘法可保留稀疏性），
涨潮（添加相同的非零帐户会减少稀疏性），
克隆（复制数据可保留稀疏性），
比尔·盖茨（一个人变得更富有增加了稀疏性），
婴儿（添加零值则增加了稀疏性）
并探究针对它们的已知措施，发现基尼指数和某些规范或准规范比率可能是不错的选择（对于后者，Euclid的《出租车》中提供了一些详细信息：平滑的$ \ ell_1 / \ ell_2的稀疏盲解卷积$正则化，2005年，IEEE信号处理快报）。我认为应该进一步发展这项最初的工作（敬请关注SPOQ，在$ q $ $ \ ell_p / \ ell_q $准规范/规范比率上使$ p $平滑）。因为对于信号$ x $，$ 0 $$ 1 \ le \ frac {\ ell_p（x）} {\ ell_q（x）} \ le \ ell_0（x）^ {1 / p-1 / q} $$
，当$ x $稀疏时，趋向于$ 1 $（左侧，LHS），向右方（RHS）不时这项工作在2020年以SPOQ的形式出版：适用于质谱的稀疏信号恢复的平滑p-Over-q正则化（arxiv预印本）。然而，稀疏性的合理衡量并不能告诉您转换后的数据是否足够最后，压缩感知中使用的另一个概念是信号的可压缩性，其中重新排序（降序）的系数幅度$ c _ {（k）} $遵循幂律$ C_ \ alpha。（k）^ {-\ alpha} $，并且$ \ alpha $越大，衰减越快。
评论
我认为您会发现稀疏是一个类似于带宽的术语。它们没有适用于所有上下文的单一定义。答案是不能令人满意的“取决于情况”。@JasonR我是这样认为的，但是有没有提及这个的参考文献？
这也取决于您的重建方案。
@Jason R您与带宽的结合很有启发性。两者在某些支撑上都具有无振幅的概念。在我看来，带宽似乎强制了某种“足够”的连接性而非稀疏性的想法