乍一看，常数Q傅立叶变换和复数Gabor-Morlet小波变换看起来是相同的。两者都是基于恒定Q滤波器，开窗正弦曲线等的时频表示。但是也许我缺少一个区别？

用于音乐处理的恒定Q变换工具箱说：


CQT指的是一种时频表示，其中频点在几何上间隔开并且所有频点的Q因子（中心频率与带宽之比）相等。
<时标分析说：


也就是说，使用Morlet小波计算信号的CWT等同于将信号通过一系列带通以$ f = \ frac {5/2 \ pi} {a} $为中心的过滤器，常数Q为$ 5/2 \ pi $。


#1 楼

简单地说，const-Q变换和Gabor-Morlet小波变换都只是连续小波变换。或者更确切地说，是近似值，因为在实际应用中始终会存在离散化问题。

小波变换的一个特性是它们具有恒定的Q因子特性，换句话说就是对数
Gabor和Morlet只是最常用的特定小波函数（带高斯窗的复指数）的两个名称。
CQ变换仅使用另一个基函数/小波，并且具有附加特殊名称，可能是出于某些历史原因。

#2 楼

重要的是要注意，已开发的各种小波对用于研究的信号提供了不同的分解。选择特定小波以特定方式揭示特定信号特征。计算小波系数时，将所选小波与感兴趣的信号进行相关。因此，小波的形状决定了所揭示信号特征的形状。

“设计”了一些小波函数以提供与傅立叶分解有关的分解（实际上更符合短期傅立叶）用于产生信号频谱图的分解）。 Morlet小波就是这种小波函数的一个很好的例子。已经“设计”了其他小波以识别信号的不连续或边缘。我看过一些使用Daubechies wevelet函数的论文。

进行一些研究，看看在实践中如何使用您提到的每个wavelet函数可能会有所帮助。我认为这将使您更好地了解各种小波的差异。

评论

$ \ begingroup $
但是，问题仅是关于Morlet小波，以及它与常量Q变换（也是Fourier分解的一种类型）之间的关系如何。它们之间有什么区别，还是它们是对同一事物的重新发明？我还发现了“每倍频程固定点（FPPO）算法”，该算法“利用了随时间变化的测量时间窗口，在低频处使用了较长的时间窗口（以实现较窄的频率分辨率），并随后缩短了高频率的时间窗口”，Rationalacoustics.com/files/FFT_Fundamentals.pdf
$ \ endgroup $
– Endolith
13年1月12日在20:22
$ \ begingroup $
我对这个问题发表了具体评论。我的另一篇文章旨在鼓励张贴者理解小波变换的独特性，以及为什么要根据不同的小波函数开发变换是有意义的。
$ \ endgroup $
–user2718
2013年1月14日14:47
$ \ begingroup $
“它们之间是否有区别，还是它们是对同一事物的重新发明？”他们是不同的。傅里叶方法的基础是基于窦函数，没有时间尺度分辨率。窗口版本的傅里叶变换处理小波的处理方式。小波变换基于紧密支持的基函数，并且该变换是时间/刻度表示而不是时间/频率表示。一些小波函数在设计上模仿了Fourier方法，但这不是必需的。
$ \ endgroup $
–user2718
2013年1月15日15:47

#3 楼

恒定Q变换不是小波变换。常量Q变换是短期傅立叶变换的一种特殊变体，其中频点以指数间隔而不是像离散傅立叶变换那样线性间隔。

参见：http：//有关详细信息，请访问en.wikipedia.org/wiki/Constant_Q_transform。

某些小波变换也被视为常量Q变换，因为在离散形式的变换中，小波的大小呈指数变化（基数在这种情况下为2）。根据斯坦福大学的以下论文（https://ccrma.stanford.edu/~jos/sasp/Continuous_Wavelet_Transform.html）：


当小波可以解释为窗口正弦曲线（例如Morlet小波），小波变换可以解释为恒定Q傅里叶变换。12.5在小波理论之前，恒定Q傅里叶变换（例如从经典的第三倍频程滤波器组获得）是不容易反转，因为基本信号不是正交的。有关相关讨论，请参见附录E。


评论

$ \ begingroup $
“恒定Q变换不是小波变换。”为何如此？
$ \ endgroup $
– Endolith
13年1月15日在4:10
$ \ begingroup $
这可能是一个语义问题，但是“常数Q变换”是从短期傅立叶变换发展而来的，因此在分析中不使用小波函数。它与小波分析的相似之处在于频点呈指数间隔。小波变换专门不处理频率。小波变换仅处理比例。标度和小波函数的组合可以关联回频率，但是两者并不相同。
$ \ endgroup $
–user2718
2013年1月15日15:15
$ \ begingroup $
根据我的阅读，Gabor-Morlet小波是第一个连续小波变换，并且专注于频率而不是比例，因为它是从Gabor变换（它是开窗傅立叶变换）派生的。忽略语义差异，CQT和Morlet WT的计算方式是否有所不同？
$ \ endgroup $
– Endolith
13年1月15日在21:38


$ \ begingroup $
假设窗函数相同并且小波是由复指数构成的，那么这些在数学上不是等效的吗？
$ \ endgroup $
– Endolith
13年1月15日在22:23
$ \ begingroup $
我想您可以安排与小波变换等效的加窗傅立叶变换。通常，在恒定Q变换的应用中，未选择窗口函数来强制执行小波所需的可容许性条件，因此通常，恒定Q变换与小波变换不同。小波的可容许条件确保了分析是可逆的（即您可以从变换结果重构时间信号），这对于常数Q变换通常是不正确的。
$ \ endgroup $
–user2718
2013年1月15日23:13