流体模拟中的霍奇分解

"every vector field is the sum of a mass conserving field and a gradient field." 
Velocity field = mass conserving field + gradient field

#1 楼

假设我有一种像水一样不可压缩的流体。即，其密度是恒定的。我可以找出这种流体如何流动。假设我在各个点上注射染料，然后观察染料颗粒的移动方式。我可以估计每个点的速度，即速度场$ \ mathbf {w} $。但是水是不可压缩的。这意味着真实速度场$ \ mathbf {u} $必须保持质量。我想“校正”我的估计值\\ mathbf {w} $来找到最接近的质量守恒速度场。

通过矢量场的发散来计算流体的局部累积或耗竭。 ，$ \ operatorname {div} \ mathbf {w} $。 （Stam将$ \ mathbf {w} $的差异写为$ \ nabla \ cdot \ mathbf {w} $。）差异是一个导数，在这里很重要，因为这意味着它是线性的。两个向量字段之和的差异就是它们的差异之和：
$$ \ operatorname {div}（\ mathbf {u} + \ mathbf {v}）= \ operatorname {div} \ mathbf {u } + \ operatorname {div} \ mathbf {v}。 $$
我们想找到一个质量守恒的领域；也就是说，我们要找到一个零散度的字段。这意味着我们要构造一个字段$ \ mathbf {v} $，其散度与$ \ mathbf {w} $相同；然后
$$ \ operatorname {div} \ mathbf {w}-\ operatorname {div} \ mathbf {v} = \ operatorname {div}（\ mathbf {w}-\ mathbf {v}）= 0 $ $
，这样我们就可以得到质量守恒字段$ \ mathbf {u} = \ mathbf {w}-\ mathbf {v} $。

唯一的问题是我们如何构造一个给定差异的字段。由于原因，我将在下面解释几段，我们说$ \ mathbf {v} $是标量字段$ q $的梯度，$ \ mathbf {v} = \ operatorname {grad} q $。 （Stam将其写为$ \ nabla q $。）然后，我们有
$$ \ operatorname {div} \ mathbf {w} = \ operatorname {div} \ mathbf {v} =
\ operatorname { div} \ operatorname {grad} q。$$
值得一说。向量场的散度是一个标量场；在每个点上，它给出了流体的局部堆积或消耗。散度和梯度都是导数（这就是为什么它们也都可以用$ \ nabla $编写的原因）。因此，该方程式表示标量场（$ \ mathbf {w} $的散度）是标量场$ q $的特定二阶导数。此派生类称为拉普拉斯算子（Stam将其写为$ \ nabla ^ 2 q $）。与标量字段$ q $和$ a $
$$ \ operatorname {div} \ mathrm {grad} \ q = a $$
有关的微分方程是泊松方程。您可以用它来估计$ q $，而不是因为它是$ q $的实际定义。

因此，要“校正”我们的估计$ \ mathbf {w} $，我们可以计算其散度（标量字段）
$$ f = \ operatorname {div} \ mathbf {w}，$$
求解Poisson方程以找到标量字段$ q $
$ $ \ operatorname {div} \ operatorname {grad} q = f，$$
，然后从$ \ mathbf {w} $中减去$ \ operatorname {grad} q $来找到我们的质量守恒速度场
$$ \ mathbf {u} = \ mathbf {w}-\ operatorname {grad} q。 $$


上面我们只是假设$ \ mathbf {v} = \ operatorname {grad} q $对于$ q $。我们真正想要的是找到一个字段$ \ mathbf {v} $，在某种意义上，该字段是具有给定散度的“最小”字段，因此我们可以找到“最近的”质量守恒字段$ \ mathbf {u} = \ mathbf {w}-\ mathbf {v} $;在这里，我将说明标量场的梯度如何满足该要求。

我们有固定数量的流体在空间中流动。
如果我们的流量是质量守恒的，那么我们有一定量的流体，没有局部积聚或消耗。如果我们根本没有运动，那么流体必须循环运动。与我们使用散度运算符测量局部累积的方式相同，我们可以通过使用另一个向量运算符curl（可以将其写为$ \ nabla \ times \ mathbf {v} $）来测量流的局部循环行为。 。广义上讲，某个点的卷曲给出了该点附近绕​​流的轴。

现在，考虑标量场$ \ operatorname {grad} q $的梯度。 （例如，$ q（x，y）= \ sin x \ cos y $。）可以将电位绘制为高度场：

然后该场的梯度放在每个点指向最陡峭的上坡方向的矢量：

但是由于您总是尽可能快地“上坡”，因此我认为很明显，此矢量场中没有循环！实际上，对于任何标量潜在的$ q $，
$$ \ operatorname {curl} \ operatorname {grad} q = 0！ $$

还有另一个相似的标识：$ \ operatorname {div} \ operatorname {curl} \ mathbf {v} = 0 $;不幸的是，我想不出那种直觉。 （但是请查看Math.SX的答案以获得更多数学解释。）我们可以使用以下两个身份来明确地编写Hodge分解：$ \ mathbf {w} = \ mathbf {v} + \ mathbf {u} $，其中$ \ mathbf {v} $没有卷曲，$ \ mathbf {u} $没有散度，或者
$$ \ mathbf {w} = \ operatorname {grad} q + \ operatorname {curl} \ mathbf {\ nu}，¹$$
用于某些标量字段$ q $和向量字段$ \ mathbf {\ nu} $。


¹如果您的空间不简单（例如有限且呈球形），则霍奇分解实际上会更加复杂；在更复杂的空间（例如圆环的表面）上，我们有无卷曲的场，它不是任何东西的梯度，而有无散度的场子不是任何东西的卷曲。但是，对于CG中的大多数流体建模而言，这通常不是问题。