拉普拉斯变换的直观解释

#1 楼

如果您对傅立叶变换有所了解，那么您可能已经有了将信号变换到频域的概念模型。拉普拉斯变换提供了信号的另一种频域表示形式-通常称为“ S域”，以将其与其他频域变换（例如Z变换-实质上是拉普拉斯变换的递减等效项）区分开。 br />
信号的矩是什么？

毫无疑问，您知道Laplace变换从矩中给出了信号的描述，类似于傅立叶变换给出的我们从相位和幅度上进行描述。

从广义上讲，可以考虑一个矩，即样本如何偏离信号的平均值-第一个矩实际上是均值，第二个矩是方差等。 ..（这些统称为“分布矩”）

给定函数F（t），我们可以计算t = 0时的第n个导数，得到第n个矩。正如可以使用相位和幅度完全描述一个信号一样，也可以通过其所有导数完全描述一个信号。

为什么傅立叶变换是laplace变换的特例？

如果我们看一下双边laplace变换：

$$ {\ int _ {-\ infty} ^ \ infty} e ^ {-st} f（t）dt $$

很明显，替换$ s = i \ omega $将产生熟悉的傅立叶变换方程：

$$ {\ int _ {-\ infty} ^ \ infty} e ^ {-i \ omega t} f（t）dt $$

关于这种关系，有一些注释（http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform#Fourier_transform），但是数学应该是相当透明的。

#2 楼

为什么傅立叶变换是laplace变换的特例？


Laplace变换产生复数值的2D曲面，而Fourier变换产生复数的1D线价值观。沿jω轴切片拉普拉斯变换时，将得到傅里叶变换。例如，一个简单的低通滤波器$ H（s）= \ frac {1} {s + 1} $在S平面中的原点左侧具有一个单极点：



从侧面看，此拉普拉斯变换的幅度形成一个表面，该极点就像一个帐篷极，在该点处将振幅提高到无穷大（而在无穷大处暗含零，将振幅降低到从原点起越远，您在任何方向上的零值都将变为零）： 。这是上图中的红色曲线，您可以看到它形成一个低通滤波器。如果将杆移离原点更远，则帐篷将沿相同方向移动，并且沿jω轴的切片将下降，这既会降低增益（我们通过增加总增益来补偿），也会提高截止频率。我一直想制作一些类似这样的动画...

http://www.maximintegrated.com/en/app-notes/index.mvp/id/733

https://dsp.stackexchange.com/a/9579/29

#3 楼

我见过的关于拉普拉斯变换的最佳直观描述：

乍一看，拉普拉斯变换的策略似乎与傅立叶变换相同：将时域信号与一组基础函数来分解波形。不对！即使两者的数学原理非常相似，这两种技术的原理也大相径庭。

拉普拉斯变换可以看作是用各种指数衰减的正弦曲线来探测系统的脉冲响应。产生抵消的探测波形称为极点和零点。

这使我们不必描述每个$ \ omega $的频率响应，而使用一小组特征点来确定所有其他点（包括$ s $平面$ s = j \ omega $的一部分，它是频率响应）。

书中对此有一个很好的类比：

现在，考虑一下您如何理解火车沿线的海拔高度与
距离（与导体的距离相比）之间的关系。由于您
已经直接测量了沿途的海拔高度，因此可以正确地声称您知道有关该关系的一切。相比之下，导体
知道相同的完整信息，但是形式更简单，更直观
：导致沿路径倾斜和起伏的丘陵和山谷的位置。尽管您对信号的描述可能包含数千个单独的测量值，但是导体对信号的描述将仅包含一些参数。