可能的重复：真正的离散傅立叶变换对于CFT，DFT，DTFT和傅立叶级数的各种FT，最清晰，直观的解释是什么？离散傅立叶变换
我了解了离散傅立叶变换。我了解在给定一个数字序列（数字信号）的情况下如何计算它，但是我仍然不明白作为输出的新序列的含义。
我的意思是，我知道傅立叶变换在时域中获取模拟信号表示形式，并在频域及其频谱中返回其表示形式。
如果我在时间窗口$ T $中查看模拟信号，则对其采样$ N $次，则采样间隔为$ t_0 = T / N $，采样频率为$ f_s = 1 / t_0 $。
模拟信号的采样值会给我一个新的数字信号，比如说$ s_n $
那么这个数字信号$ s_n $的DFT是什么意思？ DFT序列与$ s_n $有何关系？它与原始模拟信号有何关系？我得到的这些频率成分是什么意思？应该让他们了解以前的模拟信号频率分量的近似值还是作为其频谱的采样值？
非常感谢！
#1 楼
如您所述，离散傅里叶变换（DFT）将length- $ N $序列映射到其（也是length- $ N $）频域等效项。时域信号$ s [n] $转换为频域信号$ S [k] $，使得以下两个关系成立：$$
S [k] = \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} s [n] e ^ {\ frac {-j2 \ pi kn} {N}} \ text {（DFT）}
$ $
$$
s [n] = \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} S [k] e ^ {\ frac {j2 \ pi kn} {N}} \ text {（逆DFT）}
$$
（忽略可以根据作者的喜好放置在许多不同位置的比例因子；使它们“对称”的一种方法是放置一个因子每个等式前面的$ \ frac {1} {\ sqrt {N}} $中的整数：the DFT。
对于这些等式所隐含的动作有许多直观的解释。这是我通常对它们的思考方式：
转发DFT：每个DFT输出值$ S [k] $是一个复数值，代表$ s [n]的幅度和相位。 $在频率$ \ frac {2 \ pi k} {N} $处的内容。指数函数的乘法有效地将$ s [n] $的频率下移了$ \ frac {2 \ pi k} {N} $。然后，可以将超过$ N $个时间采样的总和认为是应用了抽取低通滤波器。因此，有效地，DFT的$ N $输出表示在$ s [n] $频带上应用一组等距滤波器的结果，从而测量在不同频带中存在“多少”能量反向DFT：DFT输出值$ S [k] $用于加权多个复指数函数，以便重新合成原始时域信号$ s [n] $。与$ S [k] $相关的频率是前向DFT所用频率的加法逆。该视图清楚地表明，DFT可以被认为是将任意有限长度时域信号$ s [n] $分解为一组加权正交复指数函数（或“复正弦波”）的一种方法。 />
现在，稍微扩展一下这个概念：当您在离散的时刻对连续时间的信号$ s（t）$进行采样时，您会得到一个（可能是无限长的）离散时间的信号$ s [n] $。将傅立叶变换应用于这样的离散时间信号会导致离散时间傅立叶变换（DTFT），它在频率上是连续的，并且像DFT一样，在频率上具有周期$ 2 \ pi $。假设在转换为离散时间的过程中使用了足够大的采样率，则DTFT的结果看起来很像原始信号$ s（t）$的傅立叶变换。DFT仅适用于有限长度信号，因此为了应用它，必须将离散时间信号$ s [n] $截断为某个有限长度$ N $，从而导致信号$ s_N [n] $可能更短。对于这种有限长度的离散时间信号的特殊情况，$ N $ DFT输出只是$ s_N [n] $的DTFT的等距采样。
$ s_N [n] $的DTFT与$ s [n] $的DTFT有关；如果$ s [n] $最初比$ N $个样本长，并且在生成有限样本长度时涉及到一些截断/窗口，则它们可能会有所不同。
$ s [n] $的DTFT与原始信号的傅里叶变换有关，但需要注意的是DTFT是周期性的，因此连续时间信号中的所有频率成分在离散信号中都可以明确表示。时间（其带宽由使用的采样率确定）包含在$ s [n] $的DTFT的单个长度-$ 2 \ pi $周期内。
评论
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