问题1：
分析块的结构如下所示，其中宽带信号分为低通和高通频带，每个截止值为FS / 4（Nyquist / 2）。然后，将每个频带抽取2倍。
当包含高于Nyquist极限的频率信息时，如何准确表示高频带中的信号新的抽取采样率？
问题2：
分析块结构如下所示，其中对子带信号进行内插，重新滤波然后求和。
第二个过滤的目的是什么？
#1 楼
我将首先回答问题2，并希望这将有助于解释问题1的情况。对基带信号进行采样时，在采样的所有整数倍处都存在基带信号的隐式别名频率，如下图所示。
实心图像是原始基带信号，并且别名由虚线图像表示。我选择了一个非对称（即复数）信号来帮助演示在采样频率的奇数倍处发生的反转。
您可能会问：“别名确实存在吗？”这是一个哲学问题。是的，从数学上讲它们确实存在，因为所有的别名（包括基带信号）彼此之间是无法区分的。
通过在原始样本之间插入零来进行上采样时，您实际上是有效的通过上采样率增加采样率。因此，如果您以2的倍数上采样（在每个样本之间放一个零），则将采样率和奈奎斯特速率提高2倍，结果如下图所示。
如您所见，早期映像中的隐式别名之一现在已变为显式。如果对样本进行FFT，它将显示出来。下面给出了DFT变换不会从根本上改变的非严格证据。
现在您已经有了两个显式别名，如果您只想要基带别名，则必须通过低通滤波器摆脱其他别名。但是，有时人们会使用其他别名为他们进行调制。在这种情况下，您将使用高通滤波器来去除基带信号。我希望能回答问题2。
问题1基本上是问题2的反面。假设您已经处于第二张图片所示的情况。有两种获取所需基带信号的方法。第一种方法是低通滤波器（从而摆脱较高的别名），然后以两倍的系数进行抽取。这使您可以了解＃1。
第二种方法是高通滤波器（摆脱基带别名），然后再进行2倍的抽取。之所以起作用，是因为您故意将信号混叠到基带中，从而再次使您进入图像＃1。
为什么要这样做呢？因为在大多数情况下信号不会相同，所以您可以选择所需的信号，也可以分别进行选择。
如果您正在研究多速率处理，我强烈建议您获取“多速率”通信系统的信号处理”，作者：Frederic Harris。他在不忽略数学的情况下很好地解释了理论，并给出了许多实用建议。
编辑：有意以低于奈奎斯特速率的信号采样被称为欠采样。以下是我在数学上尝试解释为什么在上采样时FFT不会改变的尝试。 “ x [n]”是原始样本集，“ u”是上采样因子，“ x'[n]”是样本上采样集。
$$
\ begin {eqnarray *}
X [k]＆=＆\ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x [n] e ^ {-i2 \ pi kn / N} \\
X'[k]＆=＆\ sum_ {n = 0} ^ {uN-1} x'[n] e ^ {-i2 \ pi kn / uN}，\ {＆x＆'[n] = 0，n \ neq mu，m \ in（0..N-1）\\
＆x＆'[n] = x [n / u]，n = mu \\
＆=＆\ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x'[un] e ^ {-i2 \ pi kun / uN} \\
＆=＆\ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x [n ] e ^ {-i2 \ pi kn / N} \\
＆=＆X [k]
\ end {eqnarray *}
$$
的道歉难看的格式。我是LaTex新手。
编辑2：我应该指出x [n]和x'[n]的DFT并不完全相同。采样率较高，正如我在回答的较早部分所解释的那样，它会使别名“暴露”。我试图以非数学家的方式指出，除采样率外，DFT是相同的。
评论
$ \ begingroup $
这是一个很棒的答案。谢谢。确实很清楚。
$ \ endgroup $
–learnvst
2012年3月21日，0：33
$ \ begingroup $
您编辑的内容不正确。如果通过在采样之间插入零来对信号进行升采样，则结果信号的DFT与原始信号的DFT不同；零填充信号的频谱等于原始的，经过频率压缩并重复上采样因子$ U $的频谱。
$ \ endgroup $
–Jason R
2012年3月22日在1:01
$ \ begingroup $
@JasonR我相信编辑基本上是正确的，尽管我确实没有指出采样率发生了变化，这本身就是一个重要的变化。我相信我们的不同之处在于您是从规范的角度考虑问题的，这的确使发生的事情看起来像“压缩”和“重复”。但是，正如我试图在答案的原始部分中解释的那样，另一种看待它的方法是我们只是增加了采样率，这导致其他别名被暴露出来。
$ \ endgroup $
– Jim Clay
2012年3月22日10:00
$ \ begingroup $
@JasonR但是，如果我在方程式中犯了一个错误，请向我指出，我将很乐意修复它。谢谢。
$ \ endgroup $
– Jim Clay
2012年3月22日上午10:01
评论
广义的奈奎斯特定理是“每赫兹带宽至少需要两个样本”。如果信号从999000Hz到1001000 Hz，则即使所有涉及的频率都高得多，所需的采样率也只有4kHz。现在，我发现“每Hz带宽”是我所缺少的关键。