估计量表示为$ \ left \ langle I \ right> $，而
$$ \ left \ langle I \ right> = \ frac {1} {N} \ sum_ {i = 1} ^ {N} \ frac {f（x_i）} {p（x_i）} $$
此估计量的期望值计算如下：
$$ E [\ left \ langle I \ right>] = E [\ frac {1} {N} \ sum_ {i = 1} ^ {N} \ frac {f（x_i）} {p（x_i）}] $$
$$ \ qquad \ qquad \ space \ space \ space \ space = \ frac {1} { N} E [\ sum_ {i = 1} ^ {N} \ frac {f（x_i）} {p（x_i）}] \ cdots（1）$$
$$ \ qquad \ qquad \ qquad \ quad = \ frac {1} {N} N \ int \ frac {f（x）} {p（x）} p（x）dx \ cdots（2）$$
$$ = \ int f（x）dx \ space \ space $$
$$ = I \ qquad \ qquad \ space $$
我想知道为什么两个方程$（ 1）$和$（2）$相等吗？
#1 楼
在蒙特卡洛积分中，样本$ x_1，x_2，\ ldots x_N $是独立的，均匀分布的随机变量。这意味着它们都具有相同的期望值。导出量$ f（x_i）/ p（x_i）$也都具有相同的期望值。因此，其中$ N $的总和等于$ N $乘以其中任意一个的期望：$ E \ left [\ sum_ {i = 1} ^ N \ frac { f（x_i）} {p（x_i）} \ right] = N \ cdot E \ left [\ frac {f（x_1）} {p（x_1）} \ right] $$
（我选择了$ x_1
然后，通过对其概率度量进行积分来找到连续随机变量的期望值：
$ E \ left [\ frac {f（x_1）} { p（x_1）} \ right] = \ int _ {\ text {}的域p（x）} \ frac {f（x）} {p（x）} \，p（x）\，dx $$