但是问题是，我只给出了一个受约束的设备，该设备仅允许使用Weierstrass-Computations。另外，我有一个软件库可以执行Weierstrass-Operations，但不能执行Montgomery / Edwards操作。这里的“运算”表示点加法和标量乘法。还要注意，两个设备/库都支持任意（Weierstrass）曲线。
因此引发了一个问题：是否有可能使用Weierstrass引擎执行Edwards / Montgomery操作，如果可以，怎么做？ >
#1 楼
如果我正确理解了您的问题，那么您实际上是在询问Edwards和Montgomery曲线中的点是否可以用Weierstrass坐标表示。这是真的;实际上，特征$ \ neq2,3 $的任何椭圆曲线都可以用Weierstrass形式$ \ mathcal {E} _ {w} ^ {a，b}表示：y ^ 2 = x ^ 3 + ax + b $，并且通过扩展它的要点也可以。，问题就变成了“转换有多么容易”？
对于形式为$ \ mathcal的蒙哥马利曲线{E} _m ^ {A，B}：By ^ 2 = x ^ 3 + Ax ^ 2 + x $，这非常简单。您可以将\ mathcal {E} _m ^ A $中的点$（x，y）\映射到Weierstrass曲线$ \ mathcal {E} _w ^ {1 / B ^ 2-A ^ 2 / 3B ^ 2，A （2A ^ 2-9）/ 27B ^ 3} $，通过地图$（（x + A / 3）/ B，y / B）$。逆映射很明显，$（Bx-A / 3，By）$。如果$ B = 1 $（实际使用的每条蒙哥马利曲线都是这种情况），则会大大简化。
对于扭曲的Edwards曲线$ \ mathcal {E} _ {e} ^ {a，d }：ax ^ 2 + y ^ 2 = 1 + dx ^ 2y ^ 2 $（其中Edwards曲线是$ a = 1 $的子集），还有一个简单的映射到Weierstrass曲线，该方法包括将曲线转换为蒙哥马利格式第一。特别是，我们可以将$ \ mathcal {E} _e ^ {a，d} $映射到$ \ mathcal {E} _m ^ {2（a + d）/（a-d），4 /（a-d） } $通过$（x，y）\ mapsto \ left（\ frac {1 + y} {1-y}，\ frac {1 + y} {x-xy} \ right）$，反之为$（x， y）\ mapsto \ left（\ frac {x} {y}，\ frac {x-1} {x + 1} \ right）$。用上面的方法组合这些贴图，我们得到对应的Weierstrass曲线$ \ mathcal {E} _w ^ {a，b} $的贴图。与标量乘法的成本相比，这些转换都不是十分昂贵。