$$
\ mathscr {F} \ big \ {x（t）\ big \} = X（f）\ tag {1}
$$
$$
\ mathscr {F} \ big \ {x（-t）\ big \} = X（-f）\ tag {2}
$$
$$
\ mathscr {F} \ big \ {x ^ *（t）\ big \} = X ^ *（-f）\ tag {3}
$$
现在，如果对于某些信号
$$
x（-t）= x ^ *（t）\ tag {4}
$$
然后，可以安全地假设以下情况吗？
$$
X（-f）= X ^ *（-f）\ tag {5}
$$
还是取决于信号的类型？
#1 楼
你是对的。您的最后一个方程只是说$ X（f）$是真实值的一种奇特的方式。通常：如果在一个域中是真实的，则在另一个域中是共轭对称的。
#2 楼
是的，如果等式。 （2）和（3）对于任何“信号类型”（它们所做的）均成立，则（5）必须成立。将（4）插入（2），我们得到
$$
\ mathscr {F} \ big \ {x ^ *（t）\ big \} = X（ -f）
$$
并使用（3）
$$
X（-f）= X ^ *（-f）
$$
如果用$ f =-g $代替，我们得到
$$
X（g）= X ^ *（g）
$$
其中，为Hilmar已经观察到，这意味着$ X（f）$是实值。根据（4），这是可以预期的，因为$ x（t）$具有共轭复数对称性。
#3 楼
@Deve和@Hilmar的答案在技术上是完美的。我想提供一些其他问题的补充见解。首先，您是否知道满足这种反向时间/共轭身份的信号：
$$ x （−t）= x ^ *（t）\，？$$
第一个显而易见的想法是在实信号和对称信号之间进行选择。傅里叶框架中自然是余弦。
现在，让我们变得更复杂一些（双关语）。
第二，真正的正弦呢？它是反对称的。但是，如果您还记得$ i ^ * =-i $，则$ t \ to i。\ sin t $的函数也将变为解决方案。因此，通过加和运算，函数
$$ t \ to e ^ {i t} $$
（称为复指数或顺式）也是一种解决方案。它的傅里叶变换（作为广义函数）确实是真实的（尽管以某种方式是“无限的”）。进一步讲，任何具有实际系数的类固醇类线性组合都可以做到。如实信号的DTFT的对称性所示：
换句话说，如果信号$ x（n）$是实信号，则其频谱是Hermitian（``共轭对称'' '）。
这里，您的基本信号$ x $是Hermitian，而Fourier版本是真实的。因此，为了更好地理解它，可以想象$ t $是一个频率变量，而$ f $是其时间对偶。在“地球物理信号和波的数字分析/复杂对称性”中提供了标准表示。
也称为Heyser开瓶器/螺旋形。
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