为什么LTI系统不能产生任何新频率？

#1 楼

LTI系统的主要特征之一是它们无法生成输入中不存在的任何新频率。
请注意，在这种情况下，频率是指$ x（t）= e类型的信号^ {j \ Omega_0 t} $或$ \ cos（\ Omega_0 t）$的持续时间是无限长的，也称为LTI系统的本征函数（专门用于复指数），其CT傅里叶变换由脉冲在频域中的作用为$ X（\ Omega）= 2 \ pi \ delta（\ Omega-\ Omega_0）$或$ X（\ Omega）= \ pi \ delta（\ Omega-\ Omega_0）+ \ pi \ delta （\ Omega + \ Omega_0）$。

一种观察原因的方法是观察输出$ y（t）$的CTFT $ Y（\ omega）$，这由众所周知的关系$给出仅当系统为LTI时，Y（\ omega）= H（\ omega）X（\ omega）$（事实上也是稳定的，因此$ H（e ^ {j \ omega}）$存在）。

（即$$ y（t）= \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} x（\ tau）h（t- \ tau）d \ tau \ longleftrightarrow Y（\ omega ）= X（\ omega）H（\ omega），$$仅在脉冲响应$ h（t）$存在且仅在系统为LTI时才存在。）

从稍加思考，在一个简单的图形图的引导下，并使用上面的乘法属性，您可以看到支持$ R_y $的频率区域（$ Y（\ omega）$不为零的频率集）输出$ Y（\ omega）$由输入$ X（\ omega）$的支撑区域$ R_x $和$ R_h $与LTI系统的频率响应$ H（\ omega）$的交点给出：
$$ R_y = R_x \ cap R_h $$

从集合代数我们知道，如果$ A = B \ cap C $则$ A \ subset B $和$ A \ subset加元。也就是说，相交总是小于或等于相交的相交。因此，对$ Y（\ omega）$的支持范围将小于或最多等于$ X（\ omega）$的支持范围。因此，在输出端将不会观察到新的频率。

由于此属性是成为LTI系统的必要条件，因此任何无法拥有它的系统都不能成为LTI。

#2 楼

给定前提，您可以进行简单的代数论证。如果：

$$
Y（\ omega）= X（\ omega）H（\ omega）
$$

其中$ X（ \ omega）$是输入信号的频谱，而$ H（\ omega $）是系统的频率响应，那么很明显，如果输入信号中有一些$ \ omega $，则$ X（\ omega） ）= 0 $，然后$ Y（\ omega）= 0 $；没有因数$ H（\ omega）$可以乘以产生非零值。

话虽如此，建立我从上面开始的LTI系统前提的真实性确实需要一些时间工作。但是，如果我们假设它是真的，那么LTI系统不能在其输出中引入任何新的频率成分这一事实将直接产生。

#3 楼

为什么$ Y（ω）= X（ω）H（ω）$
暗示LTI系统不能生成任何新频率？


频率$ \ omega_ \ text {abs} $在我们的输入中不存在，$ X（\ omega_ \ text {abs}）= 0 $。因为0服从乘法身份$ \ forall x \\ mathbb {R}，所以〜0 \ cdot x = 0 $，因此$ Y（\ omega_ \ text {abs}）= 0 $。因此，输出信号中没有频率$ \ omega_ \ text {abs} $。


为什么如果系统生成新的频率，那么它不是LTI？


假设我们的输入是$ x（t）= \ cos（t）$。然后，如果我们假设系统可以生成新的频率，则可以获得输出$ y（t）= \ cos（2 \ cdot t）$。因为我们找不到常量$ c_1，c_2 $，使得$ y（t）= c_1 \ cos（t-c_2）$，所以我们的系统不是LTI。

#4 楼

LTI系统由纯频率对角线化。正弦/余弦是线性系统的特征向量。换句话说，任何单个非零正弦或余弦（或复数的cisoid）输入都具有完全相同频率的正弦或余弦输出（但输出幅度可能会消失）。

唯一可能改变的是它们的振幅或相位。因此，如果您在输入中没有给定频率的正弦，那么在输出中您将没有任何收益（零）。

第二个问题是通过对立或规则来回答的：如果$ A \暗示B $是真实的，因此$ \ overline {B} \暗示\ overline {A} $。如果系统是LTI，则不会产生新的频率。如果系统生成新频率，则不是LTI。