筛选顺序的经验法则

#1 楼

对于低通FIR滤波器，我最喜欢的“经验法则”是“弗雷德·哈里斯经验法则”：

$ N = [f_s / delta（f）] * [atten（ dB）/ 22] $

其中
$ f_s $是滤波器的采样率
atten（dB）是目标抑制，以dB为单位

例如，如果您在以1KHz采样的系统中具有100 Hz的过渡带，而您的阻带要求是阻带中的50 dB那么顺序可以近似为：

N = 1KHz / 100Hz * 50/22 = 23抽头（四舍五入）

谢谢哈里斯！

请注意，考虑通带纹波的另一个更详细的公式是Kaiser的公式，这要归功于Bell Labs的James Kaiser，我将其包含在下面的图形中。

对于大多数我已经完成的应用，fred harris方法很好，因为受到了一定的拒绝，所以使用传统的滤波器设计算法（例如Parks-McClellan和Reme）生成的滤波器满足拒绝要求时，z已超过我的通带纹波要求。 （我通常要做的是估计顺序，使用该顺序设计滤波器，检查结果并从那里增加或减少顺序以进行微调）。估计的结果只是：估计，并且可以根据整体设计参数而有很大不同，因此不能认为是精确的解决方案。



对于那些熟悉使用窗口方法的滤波器设计的人来说，对棚车或矩形窗口（这是简单的截断）的回顾揭示了为什么需要$ f_s / \ Delta f $次抽头（如果经常使用标准化频率的单位为弧度/样本，则与$ 2 \ pi / \ Delta \ omega $相同）来完成过渡带。请参阅下面的图片，以帮助对此进行解释。

下面的第一张图片显示了矩形窗口在时间上的预期Sinc频率，然后以离散形式显示，这是别名Sinc函数，关键是矩形函数在N个样本上的频率响应将是在f = 1 / N处具有第一个零值（其中f是归一化的频率，其中1是采样率）。



下一张图片显示了矩形窗口方法进行滤波器设计（我从不建议这样做，但内容翔实）。左上角的第一幅图显示了作为理想“砖墙”响应的滤波器的目标频率响应。请不要将它与也是矩形的“棚车窗口”（或“矩形窗口”）混淆，该窗口在时域内！

为了实现这种过滤器，我们将使用所需频率响应的脉冲响应作为FIR滤波器中的系数（该滤波器的系数就是脉冲响应-随即输入和输出所有系数！）。矩形频率（砖墙）响应的脉冲响应是逆FT，它是时域中的Sinc函数，在左下角显示为“所需的脉冲响应”。 Sinc函数扩展到正负无穷大，因此要真正实现这样的滤波器，我们需要一个无限长的滤波器，并且它具有无限长的延迟。显然，我们无法做到这一点，因此我们将系数截断为可实现的值。滤波器越长，我们越接近理想的砖墙响应，但延迟也会越长（就滤波器构造而言，我们将需要更多的资源；更多的抽头）。

在时域中截断脉冲响应在数学上等同于在时域中乘以矩形窗口。 （请注意，脉冲响应也会延迟窗口持续时间的一半，以使系统具有因果关系）。时域中的乘法等效于频域中的卷积。截断之前的脉冲响应的频域（FT）是我们最初期望的砖墙频率响应。矩形窗口的频率响应是频域中的Sinc函数。

因此，当我们截断所需的脉冲响应（时间乘以矩形窗口）时，我们会将所需的频率响应与Sinc函数，导致我们的目标频率响应近似，如下图右上角所示。



Sinc的关键要点函数通常是第一个空值是1 / T，其中T是矩形函数的持续时间。对于采样系统，第一个空值应为$ 2 \ pi / N $，其中N表示矩形函数持续时间内的采样数。在图像中，归一化的弧度频率用于频率轴-（如果让您感到困惑，您只知道$ 2 \ pi $是采样率的弧度频率）。因此，在卷积过程中，尖锐的砖墙过渡扩展开了，在这种情况下，在$ 2 \ pi / N $的频率上变为0（我们的$ \ Delta \ omega $）！因此，这里$$ N = 2 \ pi / \ Delta \ omega $$，当然，滤波器的旁瓣等较差。请注意：对于给定的抽头数，从Sinc函数开始的这种转换是最清晰的；它具有最佳的频率分辨率，但动态范围（抑制）最差。其他窗口类型（Blackman，Blackman-harris，Kaiser（我最喜欢）等）将显着提高动态范围，但始终以过渡为代价。



因此，从上面的内容中，我们看到了近似公式中使用的$ 2 \ pi / \ Delta \ omega $的原点，并且我们还看到了为什么对于典型的滤波器设计，还有一个额外的乘法因子会增加高于此值的抽头数量;在$ N = 2 \ pi / \ Delta \ omega $但拒绝率极低的情况下，矩形窗口将为我们提供N次抽头的最佳过渡效果。使用更多的抽头可以使时间过渡更加平滑，超出矩形窗口的尖锐过渡范围，从而提供更大的抑制能力，但以过渡带宽为代价。

#2 楼

FIR滤波器的长度或IIR滤波器的阶数与过渡带的宽度（最窄的，如果有的话）与采样率的比值大致成反比，除了极短或极小以外，其他条件都相当低阶滤波器。