$$ \ mathrm {rect}（t）= \ begin {cases}
0＆\ mbox {if} | t | > \ frac {1} {2} \\
\ frac {1} {2}和\ mbox {if} | t | = \ frac {1} {2} \\
1＆\ mbox {if} | t | <\ frac {1} {2}。 \\
\ end {cases} $$
三角函数定义为：
$$ \ operatorname {tri}（t）
=
\ begin {cases}
1-| t |，＆| t | <1 \\
0，＆\ mbox {否则}
\ end {cases}
$$
是两个相同的单位矩形函数的卷积：
$$
\ operatorname {tri}（t）= \ operatorname {rect}（t）* \ operatorname {rect}（t）\ quad
= \ int _ {-\ infty} ^ \ infty \ mathrm {rect}（\ tau）\ cdot \ mathrm {rect}（t- \ tau）\ d \ tau $$
零阶保留和一阶保留使用这些功能。实际上，它具有：
$$
x _ {\ mathrm {ZOH}}（t）\，= \ sum_ {n =-\ infty} ^ {\ infty} x（n）\， \ mathrm {rect} \ left（tn \ right）\
$$
用于零阶保持，而
$$ x _ {\ mathrm {FOH}}（t）\，= \ sum_ {n =-\ infty} ^ {\ infty} x（n）\，\ mathrm {tri} \ left（tn \ right）\ $$
一阶保留。由于$ \ operatorname {tri}（t）= \ operatorname {rect}（t）* \ operatorname {rect}（t）$，因此，我想知道这是否是巧合，或者对于二阶保留冲激响应是
$$ \ operatorname {tri}（t）* \ operatorname {tri}（t）= \ left（\ operatorname {rect}（t）* \ operatorname {rect}（t）\ right ）* \ left（\ operatorname {rect}（t）* \ operatorname {rect}（t）\ right）。$$
一般的$ k $阶定单是否成立？即，放入
$$ x _ {\ mathrm {K-TH}}（t）\，= \ sum_ {n =-\\ infty} ^ {\ infty} x（n）\，\ mathrm {g} _k \ left（tn \ right）\ $$
其中$ \ mathrm {g} _k \ left（tn \ right）$是第k个订单保留的脉冲响应，我想知道如果其脉冲响应为
$$ \ mathrm {g} _k \ left（tn \ right）= \ left（\ operatorname {rect}（t）* \ operatorname {rect}（t）\ right）* \点* \ left（\ operatorname {rect}（t）* \ operatorname {rect}（t）\ right），$$
k倍。
#1 楼
不是这种情况。首先，二阶保持将使用三个采样点来计算插值多项式，但建议的脉冲响应$ \ text {tri}（t）\ star \ text {tri}（t）$在大小为$ 4 $的间隔（假设您的问题中的样本间隔为$ T = 1 $）。但是，对应于二阶保持的脉冲响应必须具有长度为$ 3 $的支持。现在您可以建议$ n ^ {th} $阶保持可以具有脉冲响应这是$ n $矩形函数的卷积。在这种情况下，您将获得正确的支撑大小，但是当然这是不够的。
$ n ^ {th} $阶保持将使用连续的$ n + 1 $计算分段插值数据点。与使用单个数据点的零阶保持和使用两个数据点的一阶保持类似。该定义通常在文献中使用（请参见此处和此处）。
直接表明插值三个数据点$ y [-1] $，$ y [的二阶多项式0] $和$ y [1] $由
$$ P（t）= y [-1] \ frac {t（t-1）} {2} + y [ 0]（1-t ^ 2）+ y [1] \ frac {t（t + 1）} {2} \ tag {1} $$
为了找到实现的脉冲响应$（1）$给定的插值，我们必须将$（1）$等同于表达式
$$ y [-1] h（t + 1）+ y [0] h（ t）+ y [1] h（t-1）\ tag {2} $$
如果选择脉冲响应$ h（t）$作为间隔$ [-1 ，2] $，等效于选择插值间隔$ [0,1] $，等于$（1）$和$（2）$会产生以下二阶保持的脉冲响应：
$$ h（t）= \开始{cases} \ frac12（t + 1）（t + 2），＆\ quad -1
\ frac12（t-1）（t-2），＆\ quad 1
二阶hold lo的脉冲响应$（3）$这样的确定：
我留给您说明，这种冲激响应不能通过将三个矩形函数相互卷积来生成。
评论
$ \ begingroup $
马特，能否为您代表二阶保全提供参考。我100％坚信情节错了。
$ \ endgroup $
–罗伯特·布里斯托-约翰逊
16 Mar 25 '16在2:57
$ \ begingroup $
我更正了（1）（假设前提是正确的）。我将它留给您，以反映到$ h（t）$中。
$ \ endgroup $
–罗伯特·布里斯托-约翰逊
16 Mar 25 '16 at 3:04
$ \ begingroup $
@ robertbristow-johnson：我取消了您的编辑，因为您的“更正”是错误的。我的方程式给出了$ P（-1）= y [-1] $，这应该是事实。您给出$ P（-1）=-y [-1] $。我将它留给您，以反映这为什么是错误的。
$ \ endgroup $
– Matt L.
16 Mar 25 '16 at 6:38
$ \ begingroup $
我对“更正”表示正确。我失去了减号的数量。 （实际上，我当时以为$（t-1）= 2 $由一个负号关闭。我四处张望。似乎没有人特别清楚。
$ \ endgroup $
–罗伯特·布里斯托-约翰逊
16 Mar 26 '16在7:24
#2 楼
所以这就是为什么我认为第n个$ n的订单暂挂是$ \ operatorname {rect} \ left（\ frac {t-T / 2} {T} \ right）$对自身进行$ n $倍的卷积的原因。 br />Wikipedia不是所有事物的最终参考，但是我从那里嗅到了一些东西。考虑采样和重建（无论哪种公式，Shannon Whittaker）。如果原始的带限输入为$ x（t）$且样本为$ x [n] \ triangleq x（nT）$，则可以使用
$$ x（ t）= \ sum \ limits_ {n =-\ infty} ^ {\ infty} x [n] \ \ operatorname {sinc} \ left（\ frac {t-nT} {T} \ right）$$
是具有频率响应的理想砖墙滤波器的输出：
$$ \ begin {align}
H（f）＆= \ operatorname {rect}（fT ）\\
＆= \ begin {cases}
1 \ quad | f | <\ frac {1} {2T} \\
0 \ quad | f | > \ frac {1} {2T} \\
\ end {cases}
\ end {align} $$
在理想采样函数的驱动下
$$ \ begin {align}
x_ \ text {s}（t）＆= x（t）\ cdot \ sum \ limits_ {n =-\ infty} ^ {\ infty} \ delta \ left（\ frac {t-nT} {T} \ right）\\
＆= x（t）\ cdot T \ sum \ limits_ {n =-\ infty} ^ {\ infty} \ delta（ t-nT）\\
＆= T \ sum \ limits_ {n =-\ infty} ^ {\ infty} x（t）\ delta（t-nT）\\
＆= T \ sum \ limits_ {n =-\ infty} ^ {\ infty} x（nT）\ delta（t-nT）\\
＆= T \ sum \ limits_ {n =-\ infty} ^ {\ infty } x [n] \ delta（t-nT）\\
\ end {align} $$
所以当$ x_ \ text {s}（t）$进入$ H （f）$，得出的是$ x（t）$。需要$ T $因子，以便重建滤波器的通带增益$ H（f）$是无量纲的$ 1 $或0 dB。
，这意味着该理想砖墙的脉冲响应过滤器是
$$ \ begin {align}
h（t）＆= \ mathcal {F} ^ {-1} \ left \ {H（f）\ right \} \ \
＆= \ frac1T \ operatorname {sinc} \ left（\ frac {t} {T} \ right）\\
\ end {align} $$
重建的$ x（t）$是
$$ x（t）= h（t）\ circledast x_ \ text {s}（t）$$
我们显然无法意识到该重构过滤器不是因果关系。但是有了足够的延迟，我们也许可以通过因果关系$ h（t）$的延迟而越来越近。
现在实用的DAC并没有特别接近，而是因为它只是输出样本采样后立即采样的值$ x [n] $，DAC的输出如下所示：
$$ x_ \ text {DAC}（t）= \ sum \ limits_ {n =-\ infty} ^ {\ infty} x [n] \ \ operatorname {rect} \ left（\ frac {t-nT-\ tfrac {T} 2} {T} \ right）$$
，并且可以将其建模为具有脉冲响应的滤波器。 tfrac {T} 2} {T} \ right）$$
由相同的$ x_ \ text {s}（t）$驱动。因此
$$ x_ \ text {DAC}（t）= h_ \ text {ZOH}（t）\ circledast x_ \ text {s}（t）$$
并且隐式重构滤波器的频率响应为
$$ \ begin {align}
H_ \ text {ZOH}（f）＆= \ mathcal {F} ^ {-1 } \ {h_ \ text {ZOH}（t）\} \\
＆= \ frac {1-e ^ {j 2 \ pi f T}} {j 2 \ pi f T} \\
＆= e ^ {j \ pi f T} \ operatorname {sinc}（fT）\\
\ end {align} $$
请注意，这个频率响应。这就是零阶保持的来源。
因此，虽然ZOH具有与理想砖墙重建相同的DC增益，但在其他频率处却没有相同的增益。此外，$ x_ \ text {s}（t）$中的图像并没有像砖墙那样被完全击倒，但它们被击倒了。
为什么，在时域的POV中，是吗？我认为这是由于$ x_ \ text {DAC}（t）$中的不连续。它不如$ x_ \ text {s}（t）$中的狄拉克脉冲总和差，但$ x_ \ text {DAC}（t）$具有跳跃间断。
您如何摆脱跳跃间断？可能将它们变成一阶导数的不连续性。如果您在连续时域中进行积分，则可以使用它来完成。因此，一阶保持是通过具有传递函数$ \ frac {1} {j 2 \ pi f T} $的积分器来运行DAC的输出，但我们尝试通过微分器来消除积分器的影响在离散时间域。该离散时间微分器的输出为$ x [n]-x [n-1] $或Z变换$ X（z）-z ^ {-1} X（z）= X（z）（1- z ^ {-1}）$
该微分的传递函数为$（1-z ^ {-1}）$或在连续傅立叶域中为$（1-（e ^ {j 2 \ pi f T}）^ {-1}）= 1-（e ^ {-j 2 \ pi f T}）$。这使得一阶传递函数保持了连续时间积分器，离散时间微分器和DAC的ZOH的乘积。
$$ \ begin {align}
H_ \ text {FOH}（f）＆= \ mathcal {F} ^ {-1} \ {h_ \ text {FOH}（t）\} \\
＆= \ left（\ frac {1-e ^ {j 2 \ pi f T}} {j 2 \ pi f T} \ right）^ 2 \\
＆= e ^ {j 2 \ pi f T} \ operatorname {sinc } ^ 2（fT）\\
\ end {align} $$
其脉冲响应为
$$ \ begin {align}
h_ \ text {FOH}（t）＆= \ mathcal {F} \ {H_ \ text {FOH}（f）\} \\
＆= \ left（\ operatorname {rect} \ left（ \ frac {t- \ tfrac {T} {2}} {T} \ right）\ right）\ circledast \ left（\ operatorname {rect} \ left（\ frac {t- \ tfrac {T} {2}} {T} \ right）\ right）\\
＆= \ frac {1} {T} \ operatorname {tri} \ left（\ frac {tT} {T} \ right）\\
\ end {align} $$
现在，继续进行下去，二阶保持将同时具有连续的零和一阶导数。它通过在连续时域中再次积分并尝试在离散时域中用另一个微分来弥补它来做到这一点。扔进另一个$ e ^ {j \ pi f T} \ operatorname {sinc}（fT）$因素，这意味着与另一个$ \ operatorname {rect} \ left（\ frac {t- \ tfrac {T} {2 }} {T} \ right）$。
评论
$ \ begingroup $
这最终将收敛为高斯冲激响应，我对此没有太多直觉。我坚信n阶保持-与ZOH和FOH完全相似-n阶多项式插值器。我与其他几位作者分享了这一观点：例如，这些作者和另一位作者。我还没有看到您对其他任何地方的n阶保持的解释。
$ \ endgroup $
– Matt L.
16 Mar 27 '16 at 18:39
$ \ begingroup $
很长的高斯。 $ n $阶保持的脉冲响应将是$ n + 1 $分段$ n $阶多项式的相邻部分的连接方式，使得所有导数，直到$（n-1） $阶导数将是连续的。而且我认为这是因果关系。顺便说一句，我还没有完成答案。排序解决了这个问题，但我计划最终将所有内容捆绑在一起。我会修复整个Lotta语法
$ \ endgroup $
–罗伯特·布里斯托-约翰逊
16-3-27在19:11
#3 楼
另一个问题被标记为与此重复。在那里也有人问什么是多边形保持。它和多边形保持似乎是线性插值的同义词，在线性插值中，“点连接”，而不是像预测的一阶保持中的锯一样的输出。用线连接样本需要事先知道下一个样本，以便将线对准正确的方向。在实时控制系统中，事先不知道样本的情况下，这意味着必须将输出延迟一个采样周期才能使线路连接到样本。多项式保持（ （不是多边形保留）包括零阶保留和一阶保留。
#4 楼
如评论所述，$ n $矩形函数的卷积将收敛到高斯脉冲响应。基数B样条可以定义如下：
\ begin {align *}
B_0（t）＆= \开始{cases} 1＆\ text {if} t \ in [0，1）\\ 0＆\ text {otherwise} \ end {cases} \\
B_p（t ）＆=（B_ {p-1} * B_ {0}）（t）
\ end {align *}
$ p> 1 $。 $ B_0（t）$是次数为0的多项式（最近邻插值，矩形函数）。请注意，此矩形函数是原始海报定义的矩形函数的比例变化。三角函数$ B_1（t）$是线性插值。
然后根据关于B样条小波到Gabor函数的渐近收敛，得出
$$ \ lim_ {m \ to \ infty} \ sqrt {\ frac {m + 1} {12}} B_m \ sqrt {\ frac {m + 1} {12}} x = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ exp \ left（-\ frac {x ^ 2} {2} \ right）$$
（这是高斯函数）。 $ p $阶B样条以形式
$$ B_p（x）= \ frac {1} {\ Gamma（p）} \ sum_ {k = 0} ^ \ infty（ -1）^ k \ binom {p} {k}（x-k）_ + ^ {p-1} $$
其中$ x_ +：= \ text {max}（0，x）$（ cf.关于B样条的一些概括。支持度和平滑度都与整数阶$ p $相关。可以在此处找到一些显式计算：Wikipedia。
评论
我还没有看到$ k> 1 $的$ k $订单暂停的参考。我本来希望它是$ \ operatorname {rect}（t）$函数与自身$ k-1 $卷积在一起。但我不知道定义是什么。@ robertbristow-johnson：类似于零阶保持（零阶多项式插值，即分段常数）和一阶保持（一阶多项式插值，即分段线性），第n个阶保持是n阶多项式的分段插值。在这里提到（第6页）。
这些以及@ robertbristow-johnson在下面的回答中描述的内容称为B样条曲线。
任何人都可以用因子2的图像矩阵显示吗？而且，我不清楚这里的因素。