泄漏积分器与低通滤波器是否一样？

#1 楼

所谓的泄漏积分器是具有反馈的一阶滤波器。让我们找到它的传递函数，假设输入为$ x（t）$，输出为$ y（t）$：

$$
\ frac {dy（t）} { dt} + Ay（t）= x（t）
$$

$$
\ mathcal {L} \ left \ {\ frac {dy（t）} { dt} + Ay（t）\ right \} = \ mathcal {L} \ left \ {x（t）\ right \}
$$

其中$ \ mathcal {L} $表示拉普拉斯变换的应用。向前移动：

$$
$$

$$
H（s）= \ frac {Y（s）} {X（s）} = \ frac {1} {s + A}
$$

（利用拉普拉斯变换的属性$ \ frac {dy（t）} {dt} \ Leftrightarrow sY（s）$，假定$ y（0）= 0 $）。

此系统，具有传递函数$ H（s）$，在$ s = -A $处有一个极点。请记住，可以通过让$ s = j \ omega $来找到其在频率$ \ omega $处的频率响应：

$$
H（j \ omega）= \ frac {1} {j \ omega + A}
$$

要大致了解此响应，请先将$ \ omega \设为0 $：

$$
\ lim _ {\ omega \ to 0} H（\ omega）= \ frac {1} {A}
$$

因此系统的DC增益与反馈因子$ A $。接下来，让$ w \ to \ infty $：

$$
\ lim _ {\ omega \ to \ infty} H（\ omega）= 0
$$

因此，对于高频，系统的频率响应变为零。这遵循了低通滤波器的原型。要回答有关其时间常数的其他问题，值得检查系统的时域响应。可以通过对传递函数进行逆变换来找到其冲激响应：

$$
H（s）= \ frac {1} {s + A} \ Leftrightarrow e ^ {- } u（t）= h（t）
$$

其中$ u（t）$是Heaviside阶跃函数。这是一个非常常见的变换，通常可以在拉普拉斯变换的表中找到。此脉冲响应是指数衰减函数，通常以以下格式编写：

$$
h（t）= e ^ {-\ frac {t} {\ tau} } u（t）
$$

其中$ \ tau $被定义为函数的时间常数。因此，在您的示例中，系统的时间常数为$ \ tau = \ frac {1} {A} $。

#2 楼

频率响应是相同的，是的，但是应用程序不同：


使用低通滤波器，您的信号就在通带内。滤波器的截止频率设置为高于您要保留在信号中的最高频率。
对于泄漏积分器，您的信号位于阻带中。滤波器的截止频率设置为低于信号的最低频率。



此外，积分器始终是一阶的，而低通滤波器可以是订购。