还有一个附加的对称性DFT在这一点上值得一提。实际上，有时我们需要确定实际输入函数的DFT，其中输入索引$ n $定义为正值和负值。如果该实数输入函数为偶数，则$ X（m）$始终为实数和偶数。也就是说，如果实数$ x（n）= x（−n）$，则$ X _ {\ textrm {real}}（m）$一般非零，而$ X _ {\ textrm {imag}}（m ）$为零。相反，如果实际输入函数为奇数，$ x（n）= -x（-n）$，则$ X _ {\ textrm {real}}（m）$始终为零，而$ X _ {\ textrm {imag} }（m）$通常不为零。
注意：$ X（m）= X _ {\ textrm {real}}（m）+ jX _ {\ textrm {imag }}（m）$
首先，“奇数”和“偶数”是什么意思？我怀疑这是输入信号中的采样数，但是这引出了我的第二个问题，为什么$ X _ {\ textrm {imag}}（m）$的真实输入函数为偶数为零，并且为什么对于具有奇数个实数输入函数的$ X _ {\ textrm {real}}（m）$零和$ X _ {\ textrm {imag}}（m）$通常非零？
#1 楼
偶数和奇数表示$ n = 0 $附近的对称性。偶数表示$ x [n] = x [-n] $;您只需在$ n = 0 $行中将$ n> 0 $镜像到$ n <0 $即可得到该部分。
奇数意味着$ x [n] = -x [ -n] $;您只需在$ n = 0 $行中将$ n> 0 $的零件镜像并乘以$ -1 $就可以得到$ n <0 $的零件。
余弦波是偶数，正弦波是奇数。
这些都是一般对称性的特例，它们表示
如果在一个域中是实数，在另一个域中是共轭对称。
共轭对称意味着实部是偶数，虚部是奇数。大多数人都知道实时域信号是共轭对称频谱，但它却反过来：共轭对称时域信号具有实值频谱。
评论
$ \ begingroup $
啊，描绘余弦波和正弦波有助于我理解奇数和偶数输入函数。谢谢。
$ \ endgroup $
–someguy
2012年6月5日在13:03
#2 楼
希尔马的回答当然是完全正确的，但我认为里昂在《 OP》所引用的声明中没有提到几点（或者也许他以前谈论过这些，并选择在OP所引用的段落中不再重复自己） 。离散傅里叶变换（DFT）通常被描述为
序列$（x [0]，x [1]，\ ldots，x [N-1]的变换。 ）$$ N $
X [m]＆= \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} x [k] \ exp \ left（\ frac {-j2 \ pi mk } {N} \ right），
〜m = 0，1，\ ldots，N-1，\\
x [n]＆= \ frac {1} {N} \ sum_ {m = 0} ^ {N-1} X [m] \ exp \ left（\ frac {j2 \ pi nm} {N} \ right），
〜n = 0，1，\ ldots，N-1 。
\ end {align *} $$
，但是当$ m，n $超出
$ [0，N-1] $范围时，如果我们也可以使用这些公式这样做，我们得出的结论是，长度-$ N $
DFT可以看作是周期序列$ x [\ cdot]的转换$
到另一个周期序列$ X [\ cdot] $，都在两个方向上都延伸到无穷大，并且$（x [0]，x [1]，\ ldots，x [N- 1]）$和$（X [0]，X [1]，\ ldots，X [N-1]）$只是这些无限长序列的一个周期。
请注意，我们坚持认为$ x对于所有$ m，n，$和$ i $，[n + iN] = x [n] $和$ X [m + iN] = X [m] $。
当然，这不是实践中经常处理数据的方式。我们可能有很长的样本序列，然后将它们分成适当长度$ N $的块。我们将$（x [0]，x [1]，\ ldots，x [N-1]）$的DFT计算为
$$ X ^ {（0）} [m] = \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} x [k] \ exp \ left（\ frac {-j2 \ pi mk} {N} \ right），
〜m = 0，1，\ ldots，N- 1，$$
下一块$（x [N]，x [N + 1]，\ ldots，x [2N-1]）$的DFT为
$$ X ^ {（ 1）} [m] = \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} x [k + N] \ exp \ left（\ frac {-j2 \ pi mk} {N} \ right），
〜m = 0，1，\ ldots，N-1，$$
前一个块$（x [-N]，x [-N + 1]，\ ldots，x [-1 ]）$ as
$$ X ^ {（-1）} [m] = \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} x [kN] \ exp \ left（\ frac {-j2 \ pi mk} {N} \ right ），
〜m = 0，1，\ ldots，N-1，$$
等。然后我们将各个块的各个DFT进行细分，将数据细分为这些DFT。当然，如果数据
实际上是周期为$ N $的周期性数据，则所有这些DFT都将相同。
现在，当Lyons
谈论...输入索引n被定义为正值和负值...他在谈论周期性情况，当他说
（实数）偶数函数具有属性
$ x [n]时= x [-n] $，此属性必须对所有整数$ n $都成立。
由于周期性也适用，所以我们不仅$ x [-1] = x [1] $
$ x [-1] = x [-1 + N] = x [N-1] $，类似地，$ x [-n] = x [n] = x [Nn] $。
单词，实数偶数序列$（x [0]，x [1]，\ ldots，x [N-1]）$，其
DFT是实数偶数序列（如Lyons所述，并非常解释
希尔玛（Hilmar）恰好）的形式必须是[1]，x [2]，x [3]，\ ldots，x [3]，x [2]，x [1]）$$
（除前导$ x [0]外） $）回文序列。
如果将数据划分为长度为$ N $
的块并计算每个块分别进行DFT，那么这些
单独的DFT将不具有上述的对称性
，除非DFT是具有这种回文特性的块。
#3 楼
只是为了澄清偶数和奇数函数，偶数：关于y轴对称
奇数：关于y轴对称
并且不涉及数学细节，实值函数的DFT是对称的，即所得傅立叶函数同时具有实部和虚部，它们是相对于0频率分量的镜像。如果您使用复杂功能的DFT，则不会发生这种情况。
评论
$ \ begingroup $
>偶数：相对于y轴对称奇数：相对于原点对称。您能否再解释一下这是什么意思，或者举例说明您认为分别为偶数和奇数的函数？我感到也许您的定义允许一个函数同时为偶数和奇数。是这样吗？
$ \ endgroup $
– Dilip Sarwate
2012年6月7日上午10:59
$ \ begingroup $
Dilip，您好，如果函数相对于y轴为镜像，则为偶数。例如，余弦是相对于Y轴的镜像。它的偶数功能。对于奇数函数，它是对原点的反映。意味着您对X和Y都进行了反射。就像正弦函数一样。您可以只看图并确定其是偶数还是奇数函数。
$ \ endgroup $
–那雷什
2012年6月8日13:20
评论
zh.wikipedia.org/wiki/Even_and_odd_functions是的，在Hilmar回答之后，我明白了这就是本文所指的。