#1 楼
[添加了关于Schwartz分布产品的不可能定理的参考]在一维情况下，也可以按照分布的意义定义增量函数
。[25]但是，尽管
在工程环境中得到广泛使用，但（2）应该谨慎操作，因为只能在相当狭窄的环境下定义分布的乘积。 />
可以这样定义：对于满足某些重要属性的任何函数$ f $，以及\ mathbb {R} $中的$ a \：
$$ \ int f （t）\ delta（ta）dt = f（a）。$$
据我所知，$ \ delta $无法满足那些重要属性，因此不能直接替换$ f $ by $ \ delta $并得到有意义的结果。据我们所知，两个Dirac分布的乘积并没有得到很好的定义，除非人们谈论$ n $维的版本，或者说例如物理学中使用的所谓“形式”操作，或更复杂的数学。
尼古拉斯·惠勒（Nicholas Wheeler）提供了Dirac delta三角函数身份的简化生成的简短说明。如果想更深入地研究，我建议塔·恩戈克·特里（Ta Ngoc Tri）于2005年发表的《广义函数的哥伦布理论》：在一篇
论文中，他显示了关于两个任意分布的乘积的不可能结果（请参见[Sch54]）。
一个结果是Schwartz不可能结果。它（以某种方式）说，如果希望包含莱布尼兹的导数规则的连续微分函数的导数，则可以得到$ \ delta ^ 2（| x |）= 0 $。
但是从非正式的角度来看，据我所知，有时“有时”用在DSP（以及物理）中的“产品”既不是能量也不是功率。
从逻辑上讲，如果它不存在，可能会影响此“产品”的许多属性...
一些相关文章： />什么是δ函数本身的乘积？
狄拉克δ函数的平方根是什么？
狄拉克δ函数的乘积和组成，CK Raju，物理学杂志A ：数学和一般课程，第15卷，第2期
评论
$ \ begingroup $
当您说该乘积既不是能量也不是功率时，是指函数$ x（t）= tu（t）$既不是能量也不是功率信号（因为它具有无限的能量并且无限平均功率）？还是在某种意义上说它是不确定的（或无法确定的）？
$ \ endgroup $
– Fat32
17年8月17日在19:15
$ \ begingroup $
我正在扩展答案，@ endolith（很不错的一步）做了一些编辑，但更正却丢失了（因为我在Chrome上）。因此，直到我发现需要重做的能量为止：首先，除非我找到一种对DSP有用的独特且充分扎实的Dirac平方定义的方法，可以对其进行能量/功率特性评估，但在（IMO）中则不是（IMO）。传统的平凡方式。第二：如果不是唯一或可决定的，我应该选择添加“非功率/能量公理”。目前，这种产品对我来说太疯狂了（就像过去的$ i \ times i $）
$ \ endgroup $
– Laurent Duval
17年8月18日在21:50
#2 楼
对于任何特定的$ x $，$ \ delta（x）$根本不存在。就像Laurent Duval所说的那样，Dirac不是$ \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} $函数，而是整个映射$$ \反斜杠f \ mapsto f（a）\ equiv``\ int_ \ mathbb {R} \！\！\ mathrm {d} t \：f（t）\ cdot \ delta（ta）“ $$
是一个函数，将函数映射到在某些特定条件下求值的函数的值可以说，用专用符号来反映这一点很有意义，例如
$$
\ int \！\！\！\！\！\ delta_a \ mathrm {d} t \：f（t ）。
$$
（写$ \ delta $就像是$ \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} $函数之所以有意义，是因为任何平方可积函数$ g $以类似的方式产生功能，即
$$
\ gamma：L ^ 2（\ mathbb {R}）\ to \ mathbb {R}，\ quad \ gamma（ f）= \ int_ \ mathbb {R} \！\！\ mathrm {d} t \：f（t）\ cdot g（t）。
$$
实际上就是$ L $ f $和$ g $之间的^ 2 $标量积；函数空间$ L ^ 2 $是希尔伯特空间Dirac-delta表示法的好处是它允许您编写此类实函数的叠加ls和Dirac功能，例如高通脉冲响应式
$$ \ delta（t）-\ sqrt {\ frac {\ omega_0} {2 \ pi}} \ cdot \ exp（-t ^ 2 \ cdot \ tfrac {\ omega_0 ^ 2} 2）。$$
这是您在实践中实际上无法真正实现的功能，只能近似使用，但它捕获了一个高通滤波器的概念，该概念并不重要具有这样的脉冲响应，但是通过将其与实际的实际信号进行折叠的结果，正是折叠提供了定义$ \ delta $含义的积分。）
因此，因为$ \ delta $不是函数，所以没有理由相信写$ | \ delta（t）| ^ 2 $是有意义的，因为在该表达式中，增量不会恰好出现在整数下运行其变量。即使您确实在其周围编写了一个积分，它也始终会包含两个带有相同参数的增量，并且未定义。
摘要：您是对的，狄拉克（Dirac）既不是信号，也不是动力或能量。
评论
$ \ begingroup $
您的乳胶格式似乎已损坏。您使用乳胶配方编辑器/转换器还是故意的？
$ \ endgroup $
–爵士乐狂人
17年8月17日在15:11
$ \ begingroup $
@Jazzmaniac在我的浏览器中格式很好，但是我不小心使用了几个Unicodeℝ而不是LaTeX \ mathbb {R}，也许MathJax不可靠地支持该格式。现在可以吗？
$ \ endgroup $
–leftaround关于
17年8月17日在15:18
#3 楼
没错，狄拉克（Dirac）三角波脉冲的平方是不确定的，因此无法以常规方式为包含狄拉克（Dirac）脉冲的信号定义能量和功率。与离散时间信号类似，通常以以下方式定义由狄拉克脉冲组成的信号的能量和功率。如果信号$ x（t）$是
$$ x（t）= \ sum_ {n =-\ infty} ^ {\ infty} a_n \ delta（t-t_n）\标签{1} $$
，则其能量可以定义为
$$ E_x = \ sum_ {n =-\ infty} ^ {\ infty} | a_n | ^ 2 \ tag {2} $$
及其力量可以由
$$ P_x = \ lim_ {T \ rightarrow \ infty} \ frac {1}定义{2T} \ sum_ {n：\; | t_n |
使用定义$（2）$和$（3）$，由狄拉克脉冲组成的信号可以是能量信号（$ E_x <\ infty $），也可以是功率信号（$ E_x \ rightarrow \ infty $，$ P_x <\ infty $），或者两者都不是（两者都是（2）$和$（3）$不存在）。
评论
$ \ begingroup $
没有为任何分布未定义平方的概括是不准确的，至少在没有对术语“分布”的附加限定的情况下如此。
$ \ endgroup $
–爵士乐狂人
17年8月17日在10:16
$ \ begingroup $
@Jazzmaniac：我删除了对一般发行版的引用，因为它没有为答案添加任何有用的内容。顺便说一句，该说法是从工程文献中得出的，当涉及到有关分布的细节时，这可能确实是不准确的。
$ \ endgroup $
– Matt L.
17年8月17日在19:07
#4 楼
您在这里得到了不错的答案，但是我想以一种简单的方式来解释它：脉冲是任何零信号，除了任意形状的短脉冲外，它完全为零。例如，对微波发射器的脉冲可能必须在皮秒的范围内，因为电子设备会以纳秒为单位进行响应。相比之下，爆发多年的火山可能是对经历了几千年的地质变化的完美推动。数学家不喜欢受到任何特定系统的限制，通常使用脉冲一词来表示一个信号，该信号足够短，对于任何系统都是一个脉冲！那是一个无限窄的信号，数学家再次将脉冲定义为：1.无限短的信号2.在零和零时间出现的脉冲。脉冲的面积必须为1 [By Steven W. Smith]
评论
将$ | \ delta | ^ 2 $保留为undefined并不意味着其积分是无限的。缺少定义的原因是没有一致的方法来定义它。如果您采用将Dirac分布定义为单位面积函数的极限且支撑接近0的方法，则该函数的平方可以完全收敛于您想要的任何值。因此，狄拉克分布的定义属性并不暗示该平方。具体来说，您可以定义这样的函数序列，使其收敛到$ | \ delta | $，以便其点平方的面积收敛到0或任何其他非负数。
是的，我理解我的错误。但是，求解Parseval方程∫∞-∞| x（t）| 2dt =∫∞-∞| X（f）| 2df时，单位脉冲信号的能量Eω=∫∞-∞| 1 | 2df =∞。将能量定义为无限的这种方法是否还好？
@Jazzmaniac如果将对象$ \ delta（t）^ 2 $本身定义为普通函数的限制，会发生什么（就像定义了通常的$ \ delta（t）$那样），例如：$ \ delta（ t）^ 2 = \ lim _ {{\ Delta} \ rightarrow 0} F _ {\ Delta}（t）$其中$ F _ {\ Delta}（t）= p _ {\ Delta}（t）p _ {\ Delta}（ t）= p _ {\ delta}（t）^ 2 $ ...因此至少我们不会问自己有关广义函数平方的性质。相反，它本身独立于直接定义的$ \ delta（t）$……会有所帮助吗？
要记住的一个简单声明：“狄拉克三角洲仅在整数符号下才有意义”