假设我们在采样时对一个未知的，幅度为界的连续时间信号进行采样，采样时间为$ T = 1 / f_s $实例$ kT $，（$ k \ in \ mathbb {Z} $），而没有采样抖动或量化。我们添加约束$ B = \ alpha f_N $，并带有$ 0 \ leq \ alpha \ leq 1 $。
我想算出的是以下内容：
在示例瞬间$ k $，我想确定每个$ \ alpha $在样本$ k-1 $和$ k $之间可能存在的任何连续时间信号的最坏情况的分数“超调”。即连续时间信号比采样时刻$ k $和$ k-1 $的最高（绝对）采样值高多少。我们已经通过采样“丢失”了连续信号或重构（因为正弦插值是完美的！）。
示例：
我们设置$ \ alpha = 1 $并假设离散时间信号[1,0,1,0,1,1,0,1,0,1]（请注意中间附近的双精度1，并且该信号甚至具有$ \ alpha = 1 $？）。根据样本（黑色脉冲）的正弦重建（蓝线）如下所示（我用灰色绘制了每个样本的sincs）：
样本之间的“过冲” $ k = 0 $和$ k = 1 $，约为$ \ $ 0.7 $或$ 70 \％$。因此，我们在原始的带限连续时间或“完全带限重构”信号中错过了峰值1.7。如果我将3个或多个连续的1放置，则过冲会更少（吉布斯现象最终会更小）。因此，连续两次这样的连续采样是“最坏的情况”。
在两个方向上扩展信号会使过冲增大：
这表明$ \大约1.1 $的相对超调到几乎2.1的值。
对于任何长度为$ 2m $的序列，此'overshoot'$ o（m）$将无限增长，$ o（ m）\ propto \ ln {（m）} $，当$ m \ to \ infty $时将变为$ \ infty $。这是因为每个样本sincs都会产生建设性的“干扰”，并且$ n \ to \ infty $的$ 1 / \ pi n $（单位Sinc的所有包络的贡献）之和不会收敛。 >
（我认为）类似于以下内容：如果不断对值0进行采样，我还可以重构具有无限幅度的连续时间信号，该信号仅在值为0的节点中采样，例如$ \ sin {\ pi f_s t} $。这告诉我同一件事：如果我允许信号处于奈奎斯特频率，则我可能“错过”的最严重的过冲是无限的。
我们现在可以说$ o（m \ to \ infty）| _ {\ alpha = 1} = \ infty $。并且我们可以得出$ o（m \ to \ infty）| _ {\ alpha = 0} = 0 $的采样结果（采样一个您知道其带宽受限的常数信号具有唯一的常数重构）。 >
如果$ \ alpha <1 $怎么办？
如果现在假设我们执行相同的sinc插值，但可以肯定地知道$ \ alpha <1 $，例如$ \ alpha = 0.5 $。然后，（我的直觉说）这种效果应该下降甚至应该保持有限（当$ m \ to \ infty $时）！由于对于限制带宽$ \ alpha f_s / 2 $的任何信号砖墙，我们得到的滤波器脉冲响应为$ h（t）\ propto \ text {sinc} {\ left（\ frac {t-kT} { alpha T} \ right）} $（对吗？）。因此，信号转换不能像上述变化的脉冲序列那样快，因此重建过程中每个Sinc函数的贡献都不会产生无限的相长干扰。
我的问题：
我不知道从这里开始。如何形成最坏情况下的超调的“证明”，我可以在两个连续的样本之间找到，知道$ \ alpha <1 $，表示$ any $信号（不一定像示例一样，这些单位脉冲序列）。给定的$ \ alpha $值给了我带限卷积内核$ h（t）$的斜率$ \ frac {dh（t）} {dt} $，这应该告诉我一些需要多少连续样本会有所不同，但我看不出从那里可以得出任何一般性结论的步骤。
#1 楼
我没有一个真正的答案，但我有这样的感觉，即该结果将对您有所帮助：伯恩斯坦不等式表示，如果信号$ x（t）$被限制为$ | f | \ leq B $，则$$ \ left | \ frac {\ textrm {d} x（t）} {\ textrm {d} t} \ right | \ leq 4 \ pi B \，\ textrm {sup} _ {\ tau \ in \ mathbb {R}} || x（\ tau）| ，\，\，t \ in \ mathbb {R} $$其中$ \ textrm {sup} $代表“最小上限”。我发现Amos Lapidoth中的这种不等式非常好（并且免费（PDF格式）书“数字通信基础”。可以在M. A. Pinsky的“傅立叶分析和小波简介”中找到一个证明。
评论
$ \ begingroup $
谢谢！那真的很有用；从连续时间信号中进行推理。这应该意味着，当线性推算样本$ k-1 $的“正向”和样本$ k $的“反向”时，我们将得到一个三角形，我们知道连续时间信号必须低于该三角形。如果不是，它将包含更高的频率内容。那么我们是否不能说最大$ | dx（t）/ dt | $实际上是由我允许的最大振幅下的最高频率（$ \ alpha f_N $）（co）sine界定的呢？ （如果能找到证明，我将不得不在Pinsky中阅读证明）
$ \ endgroup $
–视黄石
16-10-2在8:36
$ \ begingroup $
我还找不到我理解的证据，也不想花100多美元买一本Pinksy的书，只是为了得到一份证明。我的直觉告诉我们，可以确定$ | \ frac {dx（t）} {dt} | \ leq 2 \ pi B A_ {max} $而不是（$ 2 \ pi $ vs $ 4 \ pi $），其中$ A_ {max} $允许的最大信号值。我在这里找到了一些通用的证明，但是我不理解将$ L_1 $范数与$ || g || _1 $一起使用，并且不确定答案是否暗示$ g（\ xi）$将是一个$。 \ text {rect} $函数（近似值）在频域中。
$ \ endgroup $
–视黄醛
16-10-3在10:20
$ \ begingroup $
没关系，仅通过填写上述文章中的说明，便构成了证明。
$ \ endgroup $
–视黄石
16-10-3在11:10
#2 楼
观察结果我在序列中使用了+1和-1，而不是您的1和0。使用$ \ alpha = 1 $，在您的第一个函数中使用了带限连续函数$ f_m（T）$两个数字（经过上述修改）为：
$$ f_m（T）= \ sum_ {k = 1-m} ^ m \ operatorname {sign} \ left（\ operatorname {sinc} （\ pi k-\ pi / 2）\ right）\操作员名称{sinc}（\ pi T- \ pi k），\ tag {1} $$
其中：
$$ \ operatorname {sinc}（T）= \ begin {cases} \ sin（T）/ T＆\ text {if} T \ ne 0 \\ 1＆\ text {if} T = 0 \ end {cases } \\
\ operatorname {sign}（x）= \ begin {cases} -1＆\ text {if} x <0 \\ 0＆\ text {if} x = 0 \\ 1＆\ text {if} x> 0. \ end {cases} $$
$ f_m（1/2）$线性增长至$ m $的对数：
图1. $ f_m（1/2）$作为$ \ log_2（m）$的函数绘制。对数水平轴将增长线性化为$ m \ rightarrow \ infty $。我们可以简化$ f_m（1 / 2）$在Wolfram Alpha的帮助下：
$$ f_m（1/2）= 2 \ sum_ {k = 1} ^ m \ left | \ frac {\ sin \ left（\ pi（ k-0.5）\ right）} {\ pi（k-0.5）} \ right | =
\ begin {cases} 4 / \ pi＆\ text {if} n = 1 \\
-\ frac {2 \ left（\ psi ^ {（0）}（1/2） -\ psi ^ {（0）}（m + 1/2）\ right）} {\ pi}和\ text {other}，\ end {cases} \ tag {2} $$
其中$ \ psi ^ {（0）} $是digamma函数。约$ m = \ infty $的$（2）$系列的主要项是：
$$ \ frac {2 \ log（m）} {\ pi}，$$
解释图1所示的线性化。现在，我们可以构造函数$ f_m（T）$的规范化版本$ g_m（T）$，该函数继承了其带宽限制，但不会像$ m那样炸毁\ rightarrow \ infty $：
$$ g_m（T）= \ frac {\ pi f_m（T）} {2 \ log（m）} $$
$ m \ rightarrow \ infty $，$ g_m（T）$似乎接近在其零点采样的奈奎斯特频率正弦曲线：
图2. $ g_ {100000}（T）$不吹上。最初的Nyquist–Shannon采样定理要求最高频率必须低于采样频率的一半，因此我们似乎有一个边界情况未涵盖在其中。虽然仍然涵盖了任意大的有限$ m $和因此任意大的有限$ f_m（1/2）$。您最初的陈述：采样周期为1。设$ f_ \ infty（T）$为不超过频率$ \ alpha \ pi $的频带，其中$ \ pi $表示周期为2且$ \ alpha < 1 $。令$ f_ \ infty（T）$对于所有整数$ T $是有限的。排除所有$ T $的琐碎情况$ f_ \ infty（T）= 0 $。令$ g_ \ infty（T）= f_ \ infty（T）/ \ sup_Tf_ \ infty（T）$。因此，对于某些$ T $，$ g_ \ infty（T）\ ne 0 $。任一种：
情况1。$ g_ \ infty（T）\ ne 0 $对于某个整数$ T $。 $ \ sup_Tf_ \ infty（T）$对于所有$ T $是有限的。
情况2。对于所有整数$ T $，$ g_ \ infty（T）= 0 $。 $ \ sup_Tf_ \ infty（T）$对于某些$ T $是无限的。在不超过比例因子的情况下，$ g_ \ infty（T）$由其零的分数\\ alpha $确定。使用其余的零个以上的零使函数消失：$ g_ \ infty（T）= 0 $用于所有$ T $。这是一个矛盾，因为先前我们确定$ g_ \ infty（T）\ ne 0 $对于某些$ T $。情况2不能成立。
接着情况1成立，并且$ f_ \ infty（T）$对于所有$ T $是有限的。
找出一个确定的证明，即与函数零的平均密度相比，给定其相对较低的带宽，可以使用一部分均匀分布的零来重构该函数。我想如果$ \ alpha <1 $，则采样定理足以使$ g_ \ infty（T）$消失。在文献中，我发现了一些令人感兴趣的陈述：定理4.1第2部分的证明表明，带$Ω=π$的带限信号具有以下特性：在$ x = n∈\ mathbb {Z} $处消失的信号必须相同地消失。
杰弗里·劳赫（Jeffrey Rauch），“傅立叶级数，积分和基本基础分析的抽样”。
众所周知，$ g $基本上没有零，而cos $ \ lambda t $而不会完全消失。
BF Logan，Jr.“带通信号零交叉处的信息”，《贝尔系统技术杂志》，第1卷。 1977年4月，第56页，第487-510页
关于一维信号唯一规范的大多数结果
是基于带限函数是完整的事实（到处都是分析），因此由零（实数和复数）唯一地指定为常数和指数因子。如果保证所有零都为实，则任意带限函数由其（实）零交叉唯一指定。...
其他工作涉及识别由其（实）唯一指定的信号
。零交叉，尽管它们也包含复零。如果零交叉速率在某种意义上高于信号的信息速率或带宽，则这是可能的。
S。 R. Curtis，“从零交叉处重建多维信号”，论文，麻省理工学院，1985年。
评论
$ \ begingroup $
有趣。另一篇文章中的最大导数方法被证明可以给出最坏的情况估计。我想从我的最初（和您）的角度再次解决这个问题。基本上，我们可以说信号由两个余弦（一个向前运行，另一个向后）组成，它们在样本0和1处缝合在一起。在我看来，对$ \ alpha = 0.5重做分析应该很“容易” $和$ 0.25 $等来创建函数或对该g（m）或f（1/2）的一些估计，这些函数或函数也取决于$ \ alpha $。
$ \ endgroup $
–视黄石
16-10-4在9:19
$ \ begingroup $
@Retinite可能不是那么容易，因为首先必须确保样本确实编码了所宣传的带限功能。
$ \ endgroup $
–奥利·尼米塔洛（Olli Niemitalo）
16-10-4在11:00
$ \ begingroup $
感谢您的证明！对于$ \ alpha = 0.5 $我想出了：$ f_m（T）= \ sum_ {k = -1-m} ^ m {\ text {sign} \ left（\ cos（k \ pi \ alpha- \ frac {\ pi} {4}（\ text {sign}（k- \ frac {1} {2}）+ 1））））\ right）\ text {sinc}（kT）} $。这给出了序列[... 1 0 -1 0 1 1 0 -1 0 1 ...]。 （实际上是BL到$ \ alpha = 0.5 $吗？！）这无法（自动地）简化，因此我可以获得在$ m \ to \ infty $附近的级数展开。我得到的是$ m $中一个非常明显的几何级数，对此我可以检查总和是否是有限的（并且是），以及该值可能是多少。但这仍然是部分蛮力方法。
$ \ endgroup $
–视黄石
16-10-4在20:32
$ \ begingroup $
您可以测试序列是否代表一个半频带带限功能。比较全频带sinc内核和半频带sinc内核给出的“插值”。如果在某个$ T $处，两者不收敛为$ m \ rightarrow \ infty $，答案是否定的。 （带引号的原因是您也可以在样本点进行测试。）
$ \ endgroup $
–奥利·尼米塔洛（Olli Niemitalo）
16-10-4在21:56
#3 楼
考虑带傅立叶变换的带限函数$ \ operatorname {sinc}（t）$变换$ \ operatorname {rect}（f）$可以完美地恢复
（因为插值！）
/>即使样本仅包含中心峰，并且其所有其他局部最大值和最小值均不包含
sinc函数，其采样之间的间隔为$ 1 $。将sinc函数延迟$ \ frac 12 $秒，以便
采样器完全丢失中心峰，而是获取具有相同值的相邻采样
$$ \ operatorname {sinc} \ left（ \ frac 12 \ right）= \ frac {\ sin \ pi / 2} {\ pi / 2}
= \ frac 2 \ pi。$$
最大值的超调因此为$ 1-\压裂2 \ pi $。我没有证据
，但我怀疑这将成为
$ \ alpha = 1 $的最大超调量。较小的$ \ alpha $值将使采样值更接近$ 1 $的峰值，并且超调量
相应较小。
评论
我们在2002年的comp.dsp上讨论了此类病理序列，主题：A Sampled Data Interpolation Poser，groups.google.com / d / msg / comp.dsp / EQ31d-2SS2o / wT5HXbjQpogJ和2003，主题：最坏情况重建信号， groups.google.com/d/msg/comp.dsp/xwb9p3awrOg/zl20Wl2EiesJ我认为有一个定理将函数的带宽与其零交叉点的平均密度的上限相关联。现在，对于几乎无处不在的无限函数，那些有限值样本可能很像零交叉到有限值函数：它们的平均密度有一个上限。
谢谢，当我有更多时间（您的答案到哪里去了？）时，我将详细阅读两个Google小组讨论。尽管如此，MBaz的答案似乎暗示着最坏的情况是存在最大绝对导数，如果$ \ sup {| x |} $是有限的，那么它将是有限的。因此，对于任何频带受限的信号，它都不能变为无穷大。这与您的建议有何关系？
我想知道对于周期为$ \ rightarrow \ infty $
的无限长周期序列，数学是否更简单
实际上，我想到了一个问题，即对于信号未知但带宽受限（尽管不是砖墙）和值受限的“现实”问题（力传感器测量）进行最坏情况的重建。尽管从技术上讲不是周期性的，但这基本上接近无限长信号。