理想LPF BIBO是否不稳定？

#1 楼

这个答案是对OP对yoda的答案的评论的回应。

假设$ h（t）$是连续时间线性时不变系统的脉冲响应，其属性为
$$ \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} | h（t）| \ mathrm dt = M $$，用于
一些有限数$ M $。然后，对于每个
有界输入$ x（t）$，输出$ y（t）$也有界。
如果$ | x（t）| \ leq \ hat {M} $对于所有$ t $，其中$ \ hat {M} $
是某个有限数，然后$ | y（t）| \ leq \ hat {M} M $对于所有$ t $
其中$ \ hat {M} M $也是一个有限数。
证明很简单。
$$ \ begin {align *}
| y（t）| ＆= \ left | \ int _ {-\ infty} ^ \ infty h（\ tau）x（t-\ tau）\ mathrm d \ tau \ right | \\
＆\ leq \ int _ {-\ infty} ^ \ infty | h（\ tau）x（t-\ tau）| \ mathrm d \ tau \\
＆\ leq \ int _ {-\ infty} ^ \ infty | h（\ tau）| \ cdot | x（t-\ tau）| \ mathrm d \ tau \\
＆\ leq \ hat {M} \ int _ {-\ infty} ^ \ infty | h（\ tau）| \ mathrm d \ tau \\
＆= \ hat {M} M。
\ end {align *} $$
换句话说，只要约束$ x（t）$，就约束$ y（t）$。


因此，条件
$ \ displaystyle \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} | h（t）| \ mathrm dt <\ infty $
足以保证BIBO的稳定性。

条件$ \ displaystyle \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} | h（t）| \ mathrm dt <\ infty $
对于BIBO稳定性也是必需的。


假定每个有界输入
都产生有界输出。现在考虑输入
$ x（t）= \ text {sgn}（h（-t））〜\ forall〜t $。这显然是有界的，
（$ | x（t）| \ leq 1 $对于所有$ t $），在$ t = 0 $处，它产生输出
$$ \ begin {align * }
y（0）＆= \ int _ {-\ infty} ^ \ infty h（0- \ tau）x（-\ tau）\ mathrm d \ tau \\
＆= \ int _ {-\ infty} ^ \ infty h（-\ tau）\ text {sgn}（h（-\ tau））\ mathrm d \ tau
＆= \ int _ {-\ infty} ^ \ infty | h（-\ tau）| \ mathrm d \ tau \\
＆= \ int _ {-\ infty} ^ \ infty | h（t）| \ mathrm dt。
\ end {align *} $$
我们假设系统是BIBO稳定的，意味着$ y（0）$是
必须是有限的，即
$$ \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} | h（t）| \ mathrm dt <\ infty $$

离散时间系统的证明与明显的
改变相似，所有积分都由和代替。

理想的LPF不是BIBO稳定的系统，因为脉冲响应不是绝对可积的，正如yoda的回答所述。但是他的回答并不能真正回答问题。


有人能给我证明理想的LPF确实是BIBO不稳定的吗？


一个特定的可以从理想的LPF产生无界输出的有界输入信号示例，从而证明该系统不是BIBO稳定的。
可以如上所述构造（请参见我对主结构的评论）问题）。

#2 楼

BIBO稳定性的必要条件是脉冲响应具有$ L ^ 1 $范数（对于离散系统，则为$ \ ell ^ 1 $范数）。在您引用的Wiki文章中，


对于连续时间线性时不变（LTI）系统，BIBO稳定性的
条件是脉冲响应应
绝对可积，即它的L1范数存在。

$$ \ int _ {-\ infty} ^ \ infty | h（t）| \ dt = \ Vert h（t）\ Vert_1 <\ infty $$


理想LPF的脉冲响应是$ \ text {sinc} $函数，该函数仅具有$ L ^ 2 $范数，而没有$ L ^ 1 $规范。换句话说，$ \ text {sinc}（t）$不是绝对可加或

$$ \ int _ {-\ infty} ^ \ infty | \ text {sinc}（t）| \ dt = \ infty $$

因此，尽管理想的LPF的频率响应受所有$ f $的限制，但它并不是BIBO稳定的。

#3 楼

理想lpf的傅立叶变换是时域中的sinc函数，从-无限到+无限存在，因此是无因果的，并且其中的面积是无限的，因此是无界的。 ..