所以我的问题是，是否有不基于这两个数学领域的非对称密码算法？不使用质数和对数就很难提出一个强大的算法吗？
#1 楼
是的，您还可以基于非对称加密来解决其他难题。格子。 NTRU系统基于理想晶格中的最短向量问题。如今，基于格子的密码学引起了人们的极大兴趣，其原因有两个：（1）与因式分解和离散对数不同，没有一种有效的算法可以解决（仍然是理论上的问题，但应该在我们的一生中发生）量子计算机上的这些问题； （2）您可以使用基于晶格的系统对仍处于加密状态的数据进行任意操作（尽管不是使用NTRU，而是使用其他基于晶格的系统）。
编码理论。 McEliece系统基于解码线性代码。这是一个非常古老的系统，但由于与晶格系统相同的后量子原因，最近引起了人们的兴趣。
其他。还有其他更晦涩的（研究级）密码系统，例如学习有噪声的奇偶性，有错误的学习（与晶格中的SVP有关），子集和问题（包括著名的破例），求解多元或二元方程等。
针对您的第二个问题，是否很难找到替代品，答案是相当困难。对于大多数加密原语，您需要查找难以反转的函数示例，特别是对于非对称加密，您通常对具有允许反转的特定值的函数感兴趣（但前提是您知道该值） 。请参阅活板门功能。很难为活板门功能找到新的候选者，并且很难确定它们的适用性。
#2 楼
“离散对数”是一类。最初，这意味着我们在有限域中工作（例如，对大素数进行模运算的整数），并且在给定$ g $，$ p $和$ g ^ x \ bmod p $的情况下，恢复$ x $（它很难计算）一旦$ p $足够大，今天的技术就不可能实现。）在某些时候，有人注意到离散对数是较大情况的特殊情况，适用于通用组。因此，我们可以使用其他种类的组，尤其是椭圆曲线。令人困惑的是，尽管所涉及的数学非常不同，但这也称为“离散对数”。有用于打破离散对数的通用算法，该算法适用于所有组，但价格昂贵。而且有更快的算法只适用于原始的离散对数组（整数模为大质数）。由于（我认为）吉尔斯·布拉萨德（Gilles Brassard）有一个相当笼统的定理，它说很难NP问题（换句话说，尚无快速求解算法，但可以有效验证给定解决方案的问题）很容易变成零知识证明，而零知识证明则变成了非交互式知识零知识证明，可以成为数字签名算法。但是，诀窍是要找到一个问题，以使相应的签名算法可以容忍地快。布拉萨德定理是关于渐近行为的：给定足够大的参数，使用该算法与破坏该算法之间存在足够大的性能差异，但不能保证“使用”部分实际上在当前存在的计算机上是可行的。 >
@PulpSpy讨论晶格和编码理论。子集和问题（也称为“背包”）是传统的问题，但是所有快速变型都被晶格简化所破坏；剩下的一个不间断的背负式密码系统归功于Naccache和Stern，但是该算法使用乘法，而较早的方案使用加法，这使得它在性能上没有吸引力。看起来很有希望的另一种问题是多元二次方程。相应的非对称算法是HFE（加密）以及Quartz和Sflash（签名）。它们可能允许很小的签名（例如128位），但其安全性仍在争论中。