转换矩阵

#1 楼

屏幕快照中的答案有两个方面是错误的。首先，您是正确的，在中间矩阵中，-1应该位于第三行，而不是第二行。另一个错误是$ u，v $基向量被归一化，但是没有正交化，因此$ M $通常不是旋转矩阵。因此，它的逆不仅仅是其转置。 （反射实际上并不需要正交基础，因此您可以通过以下两种方法来解决问题的答案：通过对$ M $使用完全逆，或对$ u $和$ v $进行完全正态化。）

为给定对象设置局部坐标系（我假设为正交）的经验法则是设置一些要与该对象对齐的轴，然后为其余的轴选择任意垂直向量。 >

对于一个点，没有东西可以对齐，因此您可以使用任意轴。
对于一条线，您可以将$ u $轴与该直线对齐，无需约束$ v $轴，因此可以选择垂直于$ u $的任意矢量。这就是$ v = u \ times（0,0,1）^ T $的含义：如果您不关心它的方向，这是获取与u垂直的向量的便捷公式。除非如果$ u $恰好平行于z轴（叉积返回零），否则将不起作用，因此您实际上需要检测到该值并切换到其他公式，例如$ v = u \在这种情况下，为次（1,0,0）^ T $。
对于飞机，将$ u $和$ v $轴与飞机对齐。因此，您可以选择位于平面中的任意$ u $，然后找到位于平面中且与$ u $垂直的$ v $。

正交规范化附录

假设您有几个3D向量$ u，v $是非平行的（线性独立），但又是任意的，并且您想从中生成3D正交基$ u'，v'，w'$他们。有两种等效的实现方法。



使用Gram–Schmidt过程。它的工作方式如下：首先，标准化$ u $。然后，对于每个其他矢量，减去其在先前矢量上的投影，并对剩余的数据进行归一化。对于3D情况，它看起来像：
$$ \ begin {aligned}
u'＆= \ text {normalize}（u）= \ frac {u} {| u |} \\
v'＆= \ text {normalize} \ bigl（v-（u'\ cdot v）u'\ bigr）\\
w'＆= u'\ times v'
\ end {aligned} $$
请注意，符号$（u'\ cdot v）u'$表示将$ u'$的点积与$ v $（给出一个标量），然后将该标量乘以$你的这给出了与$ u'$平行的$ v $的向量分量。当从$ v $中减去此值时，其余分量垂直于$ u'$。

最后，将$ w'$设置为$ u'$和$ v'$的叉积确保基础是正确的。由于$ u'，v'$已经是正交的，因此我们不需要对$ w'$进行归一化，因为它已经归一化了。 （严格来说，这不是Gram–Schmidt过程的一部分。）

Gram–Schmidt过程的工作原理是在任意多个维度上建立正交基础，而不仅仅是两个或三个维度。

另一种仅在3D模式下有效的方法是使用叉积。
$$ \ begin {aligned}
u'＆= \ text {normalize}（u ）\\
w'＆= \ text {normalize}（u'\ times v）\\
v'＆= w'\ times u'
\ end {aligned} $$
在这里，必须将$ w'$标准化，因为$ u'$和$ v $不是正交的。但是然后$ u'$和$ w'$是正交的，因此我们可以在不进行归一化的情况下根据它们计算$ v'$。这样产生的结果与之前的过程相同，因此您可以选择使用哪种方法。