什么是仿射变换？

#1 楼

仿射变换是线性变换+翻译向量。

$$
\ begin {bmatrix} x'＆y'\ end {bmatrix}
=
\ begin {bmatrix} x＆y \ end {bmatrix}
\ cdot
\ begin {bmatrix} a＆b \\ c＆d \ end {bmatrix}
+
\ begin {bmatrix } e＆f \ end {bmatrix}
$$

它可以应用于单个点或线甚至贝塞尔曲线。对于线，它保留了平行线保持平行的属性。对于Bezier曲线，它保留了控制点的凸包属性。

乘出后，它会生成2个等式，以从中产生“变换的”坐标对$（x'，y'）$原始对$（x，y）$和常量列表$（a，b，c，d，e，f）$。
$$
x'= a \ cdot x + c \ cdot y + e \\
y'= b \ cdot x + d \ cdot y + f
$$

方便地，线性变换和平移矢量可以是放到可以在2D齐次坐标上进行操作的3D矩阵中。 br /> \开始{bmatrix} x＆y＆1 \ end {bmatrix}
\ cdot
\ begin {bmatrix} a＆b＆0 \\ c＆d＆0 \\ e＆f＆1 \ end {bmatrix}
$$

上面产生了相同的两个方程。原始2将按顺序执行。简单来说，矩阵乘法是关联的。

$$
\ begin {matrix}
\ begin {bmatrix} x''＆y''＆1 \ end {bmatrix}
＆=＆
\ left（
\ begin {bmatrix} x＆y＆1 \ end {bmatrix}
\ cdot
\ begin {bmatrix} a＆b＆0 \\ c＆d＆0 \\ e＆f＆1 \ end {bmatrix} \ right）
\ cdot
\ begin {bmatrix} g＆h＆0 \\ i＆j＆0 \\ k＆m＆1 \ end {bmatrix}
\\
＆=＆
\开始{bmatrix} a \ cdot x + c \ cdot y + e＆b \ cdot x + d \ cdot y + f＆1 \ end {bmatrix}
\ cdot
\ begin {bmatrix} g＆h＆0 \\ i＆j＆0 \\ k＆m＆1 \ end {bmatrix}
\\
＆=＆
\ begin {bmatrix} g（a \ cdot x + c \ cdot y + e）+ i（b \ cdot x + d \ cdot y + f）+ k
\\
h（a \ cdot x + c \ cdot y + e）+ j（b \ cdot x + d \ cdot y + f）+ m
\\ 1 \ end {bmatrix} ^ T
\\
＆=＆
\ begin {bmatrix} x＆y＆1 \ end {bmatrix} \ cdot
\ left（
\ begin {bmatrix} a＆b＆0 \\ c＆d＆0 \\ e＆f＆1 \ end {bmatrix}
\ cdot
\ begin {bmatrix} g＆h＆0 \\ i＆j＆0 \\ k＆m＆1 \ end {bmatrix}
\ right）
\\
＆=＆
\ begin { bmatrix} x＆y＆1 \ end {bmatrix} \ cdot
\开始{bmatrix} ag + bi＆ah + bj＆0 \\ cg + di＆ch + dj＆0 \\例如+ fi + k＆eh + fj + m＆1 \ end {bmatrix}
\ end {matrix}
$$

或者，您可以考虑一些基本的变换类型，并通过将它们组合在一起（将它们相乘）来构成任何更复杂的变换。 >
身份转换



$$ \ begin {bmatrix}
1＆0＆0 \\
0＆1＆ 0 \\
0＆0＆1
\ end {bmatrix} $$

缩放



$$ \ begin {bmatrix}
S_x＆0＆0 \\
0＆S_y＆0 \\
0＆0＆1 \\
\ end {bmatrix} $$

**注意：可以使用缩放参数$（S_x，S_y）=（-1,1）$或$（1 ，-1）$。

翻译



$$ \ begin {bmatrix}
1＆0＆0 \\
0＆1＆0 \\
T_x＆T_y＆1
\ end {bmatrix} $$

将x歪斜y



$$ \ begin {bmatrix}
1＆Q_x＆0 \\
0＆1＆0 \\
0＆0＆1
\ end {bmatrix} $$

按x倾斜y



$$ \ begin {bmatrix}
1 ＆0＆0 \\
Q_y＆1＆0 \\
0＆0＆1
\ end {bmatrix} $$

旋转



$$ \ begin {bmatrix}
\ cos \ theta和-sin \ theta和0 \\
\ sin \ theta ＆\ cos \ theta＆0 \\
0＆0＆1
\ end {bmatrix}
$$

[注意，我已经显示了此处的矩阵在左侧接受行向量。这些矩阵的转置将与右侧的列向量一起使用。]

可以将仅由缩放，旋转和平移组成的矩阵分解回这三个分量。