$$ y [n] = \ alpha x [n] +（1-\ alpha）y [n-1] $$
如何选择参数$ \ alpha $ st IIR尽可能接近FIR，这是最后$ k $个样本的算术平均值：
$$ z [n] = \ frac {1} {k} x [n] + \ frac {1} {k} x [n-1] + \ ldots + \ frac {1} {k} x [n-k + 1] $$
其中$ n \ in [ k，\ infty）$，表示IIR的输入可能比$ k $长，但我想对最后$ k $个输入的平均值进行最佳近似。我知道IIR具有无限的脉冲响应，因此我正在寻找最佳近似值。
对于$ {L} _ {2} $还是$ {L} _ { 1} $ cost函数。
仅给出一阶IIR，如何解决此优化问题。
谢谢。
#1 楼
没有将$ \ alpha $作为标量的解析解决方案（我认为）。这是一个脚本，为您提供给定$ K $的$ \ alpha $。如果您在线需要它，则可以构建一个LUT。脚本找到最小化的解决方案$$
\ int_ {0} ^ {\ pi} dw \ quad \ left | H_1（jw）-H_2（jw）\ right | ^ 2
$$
其中$ H_1 $是FIR频率响应，而$ H_2 $是IIR频率响应。
您没有为K指定任何范围。但我只想说明一下，以下系统等效于您的均值滤波器，并且具有相同的计算复杂度和一阶IIR！
$ H（z）= \ frac {1} { K} \ frac {1-z ^ {-K}} {1-z ^ {-1}} $
function a = find_a(K)
w = 0.0001:0.001:pi;
as = [-1:0.001:-0.001 0.001:0.001:1];
E = zeros(size(as));
for idx=1:length(as)
fJ = J(w,as(idx),K);
E(idx) = sum(fJ);
end
[Emin, indx] = min(E)
a = as(indx)
function f = J(w,a,K)
num = 2*(2-a)*(1-cos(w*K)) + 2*(cos(w*(K-1)) - cos(w)) - 2*(1-a)*(cos(w)-cos(w*(K+1)));
den = (2-a)^2 + 1 + (1-a)^2 + 2*(1-a)*cos(2*w) - 2*(2-a)^2*cos(w);
f = -(a/K)*num./den;
f = f+(1/K^2)*(1-cos(w*K))./(1-cos(w))+a^2./(1+(1-a)^2-2*(1-a)*cos(w));
end
end
评论
$ \ begingroup $
@Drazick这是相对简单的。 IIR和FIR的两个表达式被插入到积分中。找到FIR滤波器的替代表达式的关键是识别几何级数/级数。您可以在此处找到所有详细信息：en.wikipedia.org/wiki/Geometric_progression#Geometric_series。在脚本中，J函数以整数符号计算表达式。
$ \ endgroup $
– niaren
2011年10月8日19:07
$ \ begingroup $
@niaren我知道这是一篇老文章，所以如果您还记得：函数'f'是如何派生的？我已经编写了类似的代码，但是对FIR（H1）和IIR（H2）使用了复杂的传递函数，然后执行sum（abs（H1- H2）** 2）。我已经将此与您的sum（fj）进行了比较，但是得到了不同的结果输出。以为我会在研究数学之前先问一下。
$ \ endgroup $
–Dom
2013年6月7日13:47
$ \ begingroup $
@Dom很久以前了，我真的不记得了。我想我刚刚完成了计算$ [H_1（j \ omega）-H_2（j \ omega）] [H_1（-j \ omega）-H_2（-j \ omega）] $的过程。我不记得如何验证该表达式。我不介意再次进行数学运算...
$ \ endgroup $
– niaren
2013年6月7日19:22
$ \ begingroup $
@niaren嗨，我尝试导出您的表达式，但在将复杂分数相加时陷入困境。我在代码中犯了一个错误...您的函数似乎给出与sum（abs（H1-H2）** 2）成比例的结果，表明它是正确的。
$ \ endgroup $
–Dom
2013年6月9日13:28
#2 楼
好，让我们尝试得出最好的结果：$$
\ begin {array} {lcl}
y [n]＆=＆\ alpha x [n] +（1-\ alpha ）y [n-1] \\
＆=＆\ alpha x [n] +（1-\ alpha）\ alpha x [n-1] +（1-\ alpha）^ 2 y [n- 2] \\
＆=＆\ alpha x [n] +（1-\ alpha）\ alpha x [n-1] +（1-\ alpha）^ 2 \ alpha x [n-2] + （1-\ alpha）^ 3 y [n-3] \\
\ end {array}
，因此$ x [nm] $的系数为$ \ alpha （1- \ alpha）^ m $。
最佳均方逼近将最小化：
$$
\ begin {array} {lcl}
J （\ alpha）＆=＆\ sum_ {m = 0} ^ {k-1}（\ alpha（1- \ alpha）^ m-\ frac {1} {k}）^ 2 + \ sum_ {m = k } ^ \ infty \ alpha ^ 2（1- \ alpha）^ {2m} \\
＆=＆\ sum_ {m = 0} ^ {k-1} \ left（\ alpha ^ 2（1- \ alpha）^ {2m}-\ frac {2} {k} \ alpha（1- \ alpha）^ m + \ frac {1} {k ^ 2} \ right）+ \ alpha ^ 2（1- \ alpha ）^ {2k} \ sum_ {m = 0} ^ \ infty（1- \ alpha）^ {2m} \\
＆=＆\ alpha ^ 2 \ frac {1-（1- \ alpha）^ {2k}} {1-（1- \ alpha）^ 2} + \ frac {2 \ alpha} {k} \ frac {1-（1-\ alpha）^ k} {1-（1-\ alpha） } + \ frac {\ alpha ^ 2（1- \ alpha）^ {2k}} {1-（1-\ alpha）^ 2} + \ frac {1} {k} \\
＆=＆ \ frac {\ alpha ^ 2} {1-（1-\ alpha）^ 2} + \ frac {2} {k}（1-（1- \ alpha）^ k）+ \ frac {1} {k} \\
＆=＆\ frac {\ alpha ^ 2} {2 \ alpha-\ alpha ^ 2} + \ frac {2} {k}（1-（1- \ alpha）^ k）+ \ frac {1} { k} \\
＆=＆\ frac {\ alpha} {2-\ alpha} + \ frac {2} {k}（1-（1- \ alpha）^ k）+ \ frac {1} {k} \\
\ end {array}
$$
，因为对于$ m> k-1 $，FIR系数为零。
下一步是取导数并等于零。
看一下从$ J = $ K = 1000 $和$ \ alpha $从0到1的图。问题（如我所设定的）不适当，因为最好的答案是$ \ alpha = 0 $。
我认为这里有一个错误。
根据我的计算，应该是这样的： ）＆=＆\ sum_ {m = 0} ^ {k-1}（\ alpha（1- \ alpha）^ m-\ frac {1} {k}）^ 2 + \ sum_ {m = k} ^ \ infty \ alpha ^ 2（1- \ alpha）^ {2m} \\
＆=＆\ sum_ {m = 0} ^ {k-1} \ left（\ alpha ^ 2（1- \ alpha）^ {2m}-\ frac {2} {k} \ alpha（1- \ alpha） ^ m + \ frac {1} {k ^ 2} \ right）+ \ alpha ^ 2（1- \ alpha）^ {2k} \ sum_ {m = 0} ^ \ infty（1- \ alpha）^ {2m } \\
＆=＆\ alpha ^ 2 \ frac {1-（1- \ alpha）^ {2k}} {1-（1- \ alpha）^ 2}-\ frac {2 \ alpha} {k} \ frac {1-（1-\ alpha）^ k} {1-（1-\ alpha）} + \ frac {1} {k} + \ frac {\ alpha ^ 2（1- \ alpha） ^ {2k}} {1-（1-\ alpha）^ 2}
\ end {array}
根据Mathematica的结果进行简化： >
$$ J（\ alpha）= \ frac {\ alpha} {2-\ alpha} + \ frac {2 {（1-\ alpha）} ^ {k} -1} {k} $$
在MATLAB上使用以下代码会产生相同的效果，但有所不同： } {\ alpha-2}-\ frac {k-2 {（1-\ alpha）} ^ {k} + 1} {k} $$
这些函数的确具有最小值。
因此，让我们假设我们真的只关心FIR滤波器的支持（长度）的近似值。在那种情况下，优化问题就是：
$$
J_2（\ alpha）= \ sum_ {m = 0} ^ {k-1}（\ alpha（1- \ alpha）^ m -\ frac {1} {k}）^ 2
$$$
在日期中针对$ K $的各种值与$ \ alpha $绘制$ J_2（\ alpha）$在下面的图表中。
对于$ K $ =8。$ \ alpha _ {\ tt min} $ = 0.1533333
对于$ K $ =16。$ \ alpha _ {\ tt min} $ = 0.08
对于$ K $ =24。$ \ alpha _ {\ tt min} $ = 0.0533333
对于$ K $ =32。$ \ alpha _ {\ tt min} $ = 0.04
对于$ K $ =40。$ \ alpha _ {\ tt min} $ = 0.0333333
对于$ K $ =48。$ \ alpha _ {\ tt min} $ = 0.0266667
对于$ K $ =56。$ \ alpha _ {\ tt min} $ = 0.0233333
对于$ K $ =64。$ \ alpha _ {\ tt min} $ = 0.02
对于$ K $ = 72. $ \ alpha _ {\ tt min} $ = 0.0166667
红色虚线是$ 1 / K $，绿色虚线是$ \ alpha _ {\ tt min} $，使$ J_2（\ alpha）$最小的$ \ alpha $的值（从$ \ tt alpha中选择[alpha：[0：.01：1] / 3; $）。
评论
$ \ begingroup $
只是要发布完全相同的内容=）
$ \ endgroup $
– Phonon
2011年10月6日下午16:31
$ \ begingroup $
@Phonon：随时继续！为此，我将其标记为社区Wiki。
$ \ endgroup $
– Peter K.♦
2011年10月6日在16:32
$ \ begingroup $
导数wrt $ \ alpha $是一个具有无限数量项（即不是多项式）的序列，您必须将其设置为等于$ 0 $，然后求解$ \ alpha $，因此要特别小心（或可能是近似值）。
$ \ endgroup $
– Dilip Sarwate
2011年10月6日17:11
$ \ begingroup $
有人可以检查和/或纠正我的工作吗？ :-)
$ \ endgroup $
– Peter K.♦
2011年10月6日21:11
$ \ begingroup $
@DilipSarwate，最好的近似值是什么？谢谢。
$ \ endgroup $
–罗伊
2011年10月7日18:03
#3 楼
在带有微信号体系结构的嵌入式信号处理中，大约在第63页至第69页之间对此问题进行了很好的讨论。在第63页上，它包括精确的递归移动平均滤波器的推导（这是niaren在他的回答中给出的），$$
H（z）= {1 \ over {N}} {1-z ^ {-N} \ over {1-z ^ {-1}}}}。
$$
为了方便以下讨论，它对应于以下差分方程：
$$
y_n = y_ {n-1 } + {1 \ over {N}}（x_n-x_ {nN}）。
$$
将滤波器放入您指定的形式的近似值需要假定$ x_ { nN} \约y_ {n-1} $，因为（我从第68页引述）“ $ y_ {n-1} $是$ x_n $个样本的平均值”。这种近似使我们可以简化前面的差分方程，如下所示：
$$
\ begin {array} \\
y_ {n} = y_ {n-1} + {1 \ over {N}}（x_n-y_ {n-1}）\\
y_ {n} = y_ {n-1}-{1 \ over {N}} y_ {n-1} + {1 \ over {N}} x_n \\
\ end {array}
$$
设置$ \ alpha = {1 \ over {N}} $，我们得到您的原始格式$ y_ {n} = \ alpha x_n +（1- \ alpha）y_ {n-1} $，这表示您想要的系数（相对于此近似值）正好是$ 1 \ over {N} $（其中$ N $是数字）样本）。
从某种角度来说，这种近似是“最好的”吗？当然很优雅。以下是在N = 3且N增大到10（蓝色近似值）时，幅度响应在[44.1kHz]处进行比较的方法：
正如彼得的答案所暗示的，在最小二乘范数下，用递归滤波器近似FIR滤波器可能会出现问题。有关如何一般解决此问题的广泛讨论，请参见JOS的论文《数字滤波器设计和系统识别技术及其在小提琴中的应用》。他主张使用Hankel范数，但是在相位响应无关紧要的情况下，他也介绍了Kopec的方法，该方法在这种情况下可能效果很好（并使用$ L ^ 2 $范数）。可以在这里找到对本文技术的广泛概述。它们可能会得出其他有趣的近似值。
评论
$ \ begingroup $
这是一种“优雅”的方式来表达有关一阶IIR滤波器的内存的信息。它的内存相当于$ \ frac {1} {\ alpha} $。我将研究您提到的其他方法。谢谢。
$ \ endgroup $
–罗伊
2011年10月8日在16:19
$ \ begingroup $
您能直观地解释为什么在LS规范（$ {L} _ {2} $）下没有解决方案吗？
$ \ endgroup $
–罗伊
2011年10月9日12:39
$ \ begingroup $
我不确定这种情况下是否有LS解决方案，我只知道对于一般的“基于IIR的FIR逼近”问题，它趋向于收敛。如果有机会，我会更新瓦特/更多信息。
$ \ endgroup $
–datageist♦
2011年10月9日17:31
$ \ begingroup $
好吧，如果彼得建议的成本函数（第一个）正确，那么有解决方案。至少根据我的计算。
$ \ endgroup $
–罗伊
2011年10月9日19:43
$ \ begingroup $
很好。我很好奇如何将“启发式” $ 1 / N $方法与更规范的方法进行比较。
$ \ endgroup $
–datageist♦
2011年10月9日20:12
#4 楼
根据k在2到100范围内的实验测试，最佳拟合（平方和误差）给出了alfa = 1/k^0.865的关系是MovAvg滤波器的样本数量
k 评论
$ \ begingroup $
我使用了一个交互式Excel工作表来提取关系：drive.google.com/open?id=0B48gEYiKwYegY3NqQThMTTZ1OG8
$ \ endgroup $
– chiliwili69
17年6月2日在20:30
#5 楼
我偶然发现了这个老问题，我想分享我的解决方案。如其他答案中所述，没有解析解，但是要最小化的函数表现良好，并且可以通过几次牛顿迭代轻松找到$ \ alpha $的最优值。还有一个公式可以检查结果的最优性。长度为$ N $的FIR移动平均滤波器的脉冲响应由
$$ h_ {FIR给出} [n] = \ frac {1} {N}（u [n] -u [nN]）\ tag {1} $$
其中$ u [n] $是单位步长功能。一阶IIR滤波器
$$ y [n] = \ alpha x [n] +（1- \ alpha）y [n-1] \ tag {2} $$
具有脉冲响应
$$ h_ {IIR} [n] = \ alpha（1- \ alpha）^ nu [n] \ tag {3} $$
现在的目标是最小化平方误差
$$ \ epsilon = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ left（h_ {FIR} [n] -h_ {IIR} [n] \ right）^ 2 \ tag {4} $$
使用$（1）$和$（3）$，错误可以写为
$$ \ begin {align} \ epsilon（\ alpha）＆= \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} \ left（\ alpha（1- \ alpha）^ n- \ frac {1} {N} \ right）^ 2 + \ sum_ {n = N} ^ {\ infty} \ alpha ^ 2（1- \ alpha）^ {2n} \\＆= \ alpha ^ 2 \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty}（1- \ alpha）^ {2n}-\ frac {2 \ alpha} {N} \ sum_ {n = 0} ^ {N-1}（1- \ alpha）^ n + \ sum_ { n = 0} ^ {N-1} \ frac {1} {N ^ 2} \\＆= \ frac {\ alpha ^ 2} {1-（1- \ alpha）^ 2}-\ frac {2 \ alpha} {N} \ frac {1-（1- \ alpha）^ N} {1-（1- \ alpha）} + \ frac {1} {N} \\＆== frac {\ alpha} {2 -\ alpha}-\ frac {2} {N} \ left（1-（1- \ alpha）^ N \ right）+ \ frac {1} {N}，\ qquad 0 <\ alpha <2 \ tag { 5} \ end {align} $$
此表达式与此答案中给出的表达式非常相似，但并不相同。对$（5）$中$ \ alpha $的限制可确保无限和收敛，并且它与$（2）$给出的IIR滤波器的稳定性条件相同。
设置$（5）$到零的导数将导致
$$（1- \ alpha）^ {N-1}（2- \ alpha）^ 2 = 1 \ tag {6} $ $
请注意，最佳$ \ alpha $必须在区间$（0,1] $之内，因为较大的$ \ alpha $值会导致交替的脉冲响应$（3）$，无法近似FIR的恒定脉冲响应移动平均值过滤器。
取$（6）$的平方根并引入$ \ beta = 1- \ alpha $，我们得到
$$ \ beta ^ { （N + 1）/ 2} + \ beta ^ {（N-1）/ 2} -1 = 0 \ tag {7} $$
对于$ \ beta无法求解此方程$，但可以用$ N $来解决：
$$ N = -2 \ frac {\ log（1+ \ beta）} {\ log（\ beta）}，\ qquad \ beta \ neq 0 \ tag {8} $$
公式$（8）$可用于再次检查$（7）$的数值解；它必须返回$的指定值N $。
等式$（7）$可以用几行（Matlab / Octave）代码求解：
N = 50; % desired filter length of FIR moving average filter
if ( N == 1 ) % no iteration for trivial case
b = 0;
else
% Newton iteration
b = 1; % starting value
Nit = 7;
n = (N+1)/2;
for k = 1:Nit,
f = b^n + b^(n-1) -1;
fp = n*b^(n-1) + (n-1)*b^(n-2);
b = b - f/fp;
end
% check result
N0 = -2*log(1+b)/log(b) + 1 % must equal N
end
a = 1 - b;
下面是具有一系列过滤器长度$ N $的最优值$ \ alpha $的表：
N alpha 1 1.0000e+00 2 5.3443e-01 3 3.8197e-01 4 2.9839e-01 5 2.4512e-01 6 2.0809e-01 7 1.8083e-01 8 1.5990e-01 9 1.4333e-01 10 1.2987e-01 20 6.7023e-02 30 4.5175e-02 40 3.4071e-02 50 2.7349e-02 60 2.2842e-02 70 1.9611e-02 80 1.7180e-02 90 1.5286e-02 100 1.3768e-02 200 6.9076e-03 300 4.6103e-03 400 3.4597e-03 500 2.7688e-03 600 2.3078e-03 700 1.9785e-03 800 1.7314e-03 900 1.5391e-03 1000 1.3853e-03
评论
是否必须精确地遵循$ y [n] = \ alpha x [n] +（1-\ alpha）y [n-1] $]？这势必会变成非常差的近似值。除了一阶IIR，您能负担得起吗？
您可能需要编辑问题，以免使用$ y [n] $来表示两种不同的含义，例如第二个显示的方程式为$ z [n] = \ frac {1} {k} x [n] + \ cdots + \ frac {1} {k} x [n-k + 1] $，您可能想要说您“尽可能好”的标准是什么，例如您是否希望$ \ vert y [n]-z [n] \ vert $对于所有$ n $尽可能小，还是$ \ vert y [n]-z [n] \ vert ^ 2 $是所有$ n $都尽可能小。
@Phonon，是的，它必须是一阶IIR。标准很简单，结果$ y [n] $应该尽可能接近系统中最后$ k $输入的平均值，其中$ n \ in [k，\ inf] $。我很高兴看到两种情况的结果。尽管我假设解析解仅对$ {| y [n] −z [n] |} ^ {2} $是可行的。