我仍然有几个问题：
西格玛和半径之间有什么关系？
我读过西格玛等于半径，我看不到西格玛如何以像素表示。还是“半径”只是sigma的名称，与像素无关？选择一个好的sigma以在任何给定通行证中获得我想要的sigma？如果所得的sigma等于sigma平方和的平方根，并且sigma等于radius，那么获得所需半径的简便方法是什么？
一个内核的大小合适，以及它与sigma有什么关系？
我已经看到大多数实现使用5x5内核。对于质量不错的快速实现来说，这可能是一个不错的选择，但是还有其他理由选择另一个内核大小吗？ sigma与内核大小有何关系？我是否应该找到最佳的sigma，以便使内核外部的系数可以忽略不计并且仅进行归一化？
#1 楼
sigma与半径之间有什么关系？我已经读过西格玛等于半径，我看不到西格玛是如何用像素表示的。还是“半径”只是sigma的名称，与像素无关？
这里有三件事。方差（$ \ sigma ^ 2 $），半径和像素数。由于这是二维高斯函数，因此有必要谈论协方差矩阵$ \ boldsymbol {\ Sigma} $。然而，尽管如此，这三个概念之间的联系微弱。
首先，二维高斯由以下方程式给出：
$$
g（{\ bf z}）= \ frac {1 } {\ sqrt {（2 \ pi）^ 2 | \ boldsymbol {\ Sigma} |}} e ^ {-\ frac {1} {2}（{\ bf z}-\ boldsymbol {\ mu}）^ T \ boldsymbol {\ Sigma} ^ {-1} \（{\ bf z}-\ boldsymbol {\ mu}）}
$$
其中$ {\ bf z} $是图像中包含$ x $和$ y $坐标的列向量。因此，$ {\ bf z} = \ begin {bmatrix} x \\ y \ end {bmatrix} $，而$ \ boldsymbol {\ mu} $是在$ x中将高斯函数的均值编码的列向量$和$ y $方向$ \ boldsymbol {\ mu} = \ begin {bmatrix} \ mu_x \\ \ mu_y \ end {bmatrix} $。
示例：
现在，假设我们设置协方差矩阵$ \ boldsymbol {\ Sigma} = \ begin {bmatrix} 1＆0 \\ 0＆1 \ end {bmatrix} $，并且$ \ boldsymbol {\ mu} = \ begin {bmatrix} 0 \\ 0 \ end {bmatrix} $。我还将像素数设置为$ 100 $ x $ 100 $。此外，我在其中评估此PDF的“网格”在$ x $和$ y $中将从$ -10 $变为$ 10 $。这意味着我的网格分辨率为$ \ frac {10-（-10）} {100} = 0.2 $。但这是完全任意的。通过这些设置，我将在左侧获得概率密度函数图像。现在，如果我更改“方差”（实际上是协方差），使得$ \ boldsymbol {\ Sigma} = \ begin {bmatrix} 9＆0 \\ 0＆9 \ end {bmatrix} $，并保留其他所有内容同样，我得到正确的图像。
两者的像素数量仍然相同，$ 100 $ x $ 100 $，但是我们更改了方差。假设我们做同样的实验，但改用$ 20 $ x $ 20 $像素，但是我仍然从$ -10 $跑到$ 10 $。然后，我的网格的分辨率为$ \ frac {10-（-10）} {20} = 1 $。如果使用与以前相同的协方差，则会得到以下结果：
这些是您必须了解这些变量之间相互作用的方式。如果您想要代码，也可以在此处发布。
我该如何选择sigma？
方差的选择高斯滤波器的/ covariance-matrix完全取决于应用程序。没有正确的答案。这就像问一个滤波器应该选择什么带宽。同样，这取决于您的应用程序。通常，您希望选择一个高斯滤波器，以便使图像中的大量高频分量消失。要获得良好的度量，您可以做的一件事是计算图像的2D DFT，并将其系数与2D高斯图像叠加。这将告诉您哪些系数正在受到严重惩罚。
例如，如果高斯图像的协方差是如此之大，以至于包含了图像的许多高频系数，那么您需要使其协方差元素变小。
#2 楼
参数sigma足以从连续的角度定义高斯模糊。但是实际上，图像和卷积核是离散的。如何选择连续高斯核的最佳离散逼近？使用较大半径时，离散逼近将更接近连续高斯核。但这可能会以增加计算持续时间为代价。
理想情况下，可以为sigma选择一个值，然后计算一个半径，以忠实地表示相应的连续高斯核。对于给定的近似误差，sigma越大，半径就必须越大。
有趣的是，将其正确处理会变得非常复杂。
构造高斯矩阵时，是对连续核进行采样的最佳解决方案还是更好的近似值？
如何标准化计算的离散核以解决截断问题？
作为参考，在Mathematica中，函数GaussianMatrix具有几种计算高斯离散矩阵的方法，例如：使用离散贝塞尔近似。默认情况下，radius = 2 * sigma，这意味着在sigma = 1时，矩阵将为5x5。
评论
$ \ begingroup $
这是一个很老的问题。但是2 * sigma的半径不会导致9x9的矩阵吗？
$ \ endgroup $
–妄想逻辑
2014年4月28日在18:19
$ \ begingroup $
@DelusionalLogic的sigma = 1，半径= 2，因此矩阵的大小为4，但需要奇数大小，因此大小为5x5。至少我是这样理解的。
$ \ endgroup $
– Micka
2015年9月17日下午12:53
$ \ begingroup $
如果半径为2，则邻域会将中心像素向左扩展2个像素，向右扩展2个像素，依此类推。这只是Mathematica使用的约定。
$ \ endgroup $
–马特西亚·奥迪西奥（Matthias Odisio）
2015年9月21日在23:12
#3 楼
事实证明，Pascal三角形的行非常好地近似于高斯，并具有使整数值之和为2的幂的实际优势（我们可以将这些值完全存储为整数，定点值或浮点数）。例如，假设我们希望构建一个7x7高斯核，我们可以使用Pascal三角形的第七行来实现，如下所示：在拐角处产生影响，同时保留整数值。在这种情况下，您可以使用中间值20/64来确定相应的标准偏差sigma为64 /（20 * sqrt（2 * pi））= 1.276。您可以绘制高斯曲线图，以了解这是一个很好的拟合。与上述构造相对应的N + 1）x（N + 1）个滤波器使用
Wolfram Alpha的GaussianMatrix [3]仅使用r / 2 = 1.5。 />奇怪的是，GaussianMatrix [{3,1.276}]不能产生与我的相同的2D滤波器，并且x，y在-3和3之间不符合以下条件：
我不确定为什么不呢？我的2D滤镜非常适合。
评论
$ \ begingroup $
如果这些图像使用顺序颜色图，效果会更好。喷气飞机是最糟糕的。
$ \ endgroup $
– Endolith
13年7月27日在17:13
$ \ begingroup $
@endolith“更好”取决于应用程序。当需要视觉对比辨别时，我不使用喷气机。 （热更好）。但是，在此消息的大小在高斯大小以内，因此使用喷射不会造成伤害。不过感谢您的链接。
$ \ endgroup $
– Tarin Ziyaee
13年7月29日在0:02
$ \ begingroup $
这是一个经过深思熟虑且形象化的答案！以该左上图像为例。显然，方差和内核大小的组合是浪费的，因为它是100x100内核，其中只有中心30x30（〜9％）不为零。
$ \ endgroup $
–亚当·史密斯（Adam Smith）
16年4月4日在22:11