时域中的延迟对频域有什么影响？

#1 楼

通常由快速傅立叶变换（FFT）实施的离散傅立叶变换（DFT）将离散时域采样的有限长度序列映射到频域采样的等长序列。频域中的样本为一般复数。它们表示可以在时域中的复杂指数函数的加权总和中用于重构原始时域信号的系数。

这些复数表示与每个指数相关的振幅和相位功能。因此，FFT输出序列中的每个数字都可以解释为：

$$
X [k] = \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x [n] e ^ {\ frac {-j 2 \ pi nk} {N}} = A_k e ^ {j \ phi_k}
$$

您可以这样解释：如果您要重建x [n]（即您开始使用的信号），则可以采用一堆复杂的指数函数$ e ^ {\ frac {j 2 \ pi nk} {N}}，k = 0、1，\ ldots，N-1 $，分别用$ X [k] = A_k e ^ {j \ phi_k} $加权，然后总结一下。结果完全等于（在数值精度内）$ x [n] $。这只是逆DFT的基于单词的定义。

因此，对您的问题说，傅立叶变换的各种风格具有以下特性：时域中的延迟映射为相移在频域中。对于DFT，此属性为：

$$
x [n] \ leftrightarrow X [k]
$$
x [n-D] \ leftrightarrow e ^ {\ frac {-j2 \ pi k D} {N}} X [k]
$$

也就是说，如果将输入信号延迟$ D $个样本，则信号FFT中的每个复数值将乘以常数$ e ^ {\ frac {-j2 \ pi k D} {N}} $。人们通常不会意识到DFT / FFT的输出是复数值，因为它们通常仅可视化为幅度（或有时为幅度和相位）。

编辑：我想指出的是，由于DFT的时间覆盖范围有限，因此该规则对于DFT有一些微妙之处。具体来说，信号的移动必须是循环的，才能保持该关系。也就是说，当您将$ x [n] $延迟$ D $个样本时，您需要将$ x [n] $末尾的最后$ D $个样本包装到延迟信号的前面。这与在信号直到DFT孔径开始之后才开始（例如，以零开头）才开始的真实情况下所看到的完全不匹配。您始终可以通过对原始信号$ x [n] $进行零填充来解决此问题，这样当您延迟$ D $个样本时，无论如何，您只需将零缠绕在前面即可。这种关系仅适用于DFT，因为它在时间上是有限的。它不适用于经典的傅立叶变换或离散时间傅立叶变换。

#2 楼

没食子碱，

这只是意味着FFT向量中会有一个相位偏移。当您对（真实）信号进行FFT运算时，您的答案将非常复杂，因此您将拥有真实而虚构的部分。如果您选择了它们的相位（inverse_tangent（imag / real）），则将显示频率的所有相位。

（在matlab中，您也可以通过简单的“ angle（fft_result）”来获得相位）。 br />
顺便说一句，如果您对信号进行延迟和无延迟相关，并选择峰值，则可以通过这种方式获得延迟。在频率域中，它是不加延迟地从所有信号中减去信号的所有相位，然后取平均值。

#3 楼

考虑信号$ \ sin（\ omega t）$，它的频率成分为$ \ omega $。延迟1秒。信号将是相同的，因此频率内容相同，但是我们的时间t = 0在1秒之前已经开始，因此波形仅向右偏移1秒，即相位不是频率分量。

从等式$ G（w）= e ^ {-j \ omega t} $可以看出，只会以循环方式引起相位变化，因此无论延迟是多少，原始信号。