提醒：
傅立叶变换：$ X（\ omega）= \ int x（t）e ^ {-j \ omega t} dt $
拉普拉斯变换：$ X（s）= \ int x（t）e ^ {-st} dt $
以及其Laplace变换。
由于重建只需要一部分Laplace变换（$ \ Re（s）= 0 $的那一部分），其余的Laplace变换（$ \ Re（s）\ neq 0 $）似乎对重建没有用...
是真的吗？
还可以重建信号吗？拉普拉斯变换的另一部分（例如，对于$ \ Re（s）= 5 $或$ \ Im（s）= 9 $）？
如果我们计算信号的拉普拉斯变换会发生什么？ ，然后仅更改拉普拉斯变换的一个点， d计算逆变换：我们回到原始信号吗？
#1 楼
傅立叶变换和拉普拉斯变换显然有很多共同点。但是，在某些情况下只能使用其中之一，或者更方便地使用其中一个。首先，即使在定义中，您只需用$ j \ omega $或反之亦然，从一个变换转到另一个变换，通常在给定函数的Laplace变换$ X_L（s）$或Fourier变换$ X_F（j \ omega）$时无法完成。 （我使用不同的索引，因为对于相同的时域功能，两个功能可能不同）。对于某些函数，仅存在Laplace变换，例如$ f（t）= e ^ {at} u（t）$，$ a> 0 $，其中$ u（t）$是Heaviside阶跃函数。原因是Laplace变换的定义中的积分仅对$ \ Re \ {s \}> a $收敛，这意味着Fourier变换的定义中的对应积分不收敛，即Fourier变换不收敛。在这种情况下不存在。
有两个转换都存在的函数，但是$ X_F（j \ omega）\ neq X_L（j \ omega）$。一个示例是函数$ f（t）= \ sin（\ omega_0t）u（t）$，其傅里叶变换包含狄拉克增量脉冲。
最后，还有仅傅里叶变换存在的函数，而拉普拉斯变换不存在。这意味着，对于$ s = j \ omega $，Laplace变换的定义中的积分仅（在特定意义上）收敛，而对于$ s $的其他值则不收敛。仅当积分收敛于复平面$ s $平面的一半平面或有限大小的垂直带中时，才说存在Laplace变换。仅傅里叶变换存在的此类函数包括复指数和正弦曲线（$-\ infty
拉普拉斯变换可以通过考虑线性传递函数（即脉冲响应的拉普拉斯变换）来传递线性不变线性系统（LTI），以分析线性时不变系统的行为，是一种方便的工具。复杂的$ s $平面中传递函数的极点和零点方便地表征了许多系统属性，对于直观了解系统行为非常有用。此外，单边拉普拉斯变换对于分析具有非零初始条件的LTI系统非常有用。傅立叶变换是用于分析理想（非因果，不稳定）系统（例如理想低通或带通滤波器）的有用工具。
还可以查看有关相关问题的答案。
评论
$ \ begingroup $
傅里叶变换是分析理想（非因果关系，不稳定）系统的有用工具：您会说因果关系和稳定关系吗？
$ \ endgroup $
– Vinz
2015年10月5日上午10:09
$ \ begingroup $
@ user17604：我的意思是我写的。当然，您也可以将其用于因果关系和稳定的（和非理想的）系统。但是其中一项重要用途是分析理想系统（例如理想的频率选择滤波器），而无法使用拉普拉斯变换。
$ \ endgroup $
– Matt L.
2015年10月5日在10:13
$ \ begingroup $
@MattL。很好的答案，但是我发现“分析具有非零初始条件的LTI系统”令人困惑，LTI系统如何具有非零初始条件？
$ \ endgroup $
–user33568
18年2月23日在4:43
$ \ begingroup $
@ 0MW：是的，我可能应该说“否则为LTI的系统（如果最初处于静止状态）”。
$ \ endgroup $
– Matt L.
18年2月23日在9:25
评论
为什么要下票？即使问题中可能包含错误的结论，也可以通过评论或答案很好地解决。悄无声息地拒绝有人显然在付出一些努力的问题不是很有建设性。我赞成这个问题。如果我考虑角频率$ \ omega $，那么我想说傅立叶变换：$$ X（j \ omega）= \ int \ limits _ {-\ infty} ^ {\ infty} x（t）e ^ {-j \ omega t} \ dt $$和拉普拉斯变换：$$ X（s）= \ int \ limits _ {-\ infty} ^ {\ infty} x（t）e ^ {-st} \ dt $ $。那么很显然它们是同一件事（排序）。