频域零填充-X [N / 2]的特殊处理

#1 楼

让我们看一下8点DFT中bin的频率：

$$
\开始{array} {c}
\ omega_A = 0，\\
\ omega_B = \ pi / 4，\\
\ omega_C = \ pi / 2，\\
\ omega_D = 3 \ pi / 4，\\
\ omega_E = \ pi =-\ pi \（{\ tt mod} \ 2 \ pi），\\
\ omega_F = 5 \ pi / 4 = -3 \ pi / 4 \（{\ tt mod} \ 2 \ pi），\\
\ omega_G = 3 \ pi / 2 =-\ pi / 2 \（{\ tt mod} \ 2 \ pi），\\
\ omega_H = 7 \ pi / 4 =-\ pi / 4 \（{\ tt mod} \ 2 \ pi）
\ end {array}
$$
因此，当您插值2倍时，点$ E $的频率变为$-\ pi $或$ + \ pi $。乍一看，我看不出您的方法有什么问题，因为尚不清楚应将$ E $放入与$ \ pi $或$-\ pi $相关的bin中。

在Julius O.Smith III的页面上，他声明了一个条件：


此外，当$ N时，我们要求$ x（N / 2）= x（-N / 2）= 0 $ $是偶数，而奇数不需要
这样的限制。


他的示例中有一个奇数的$ N $，这避免了这个问题。引用朱利叶斯的作品：

史密斯，乔带音频应用的离散傅立叶变换（DFT）数学，第二版，
http://ccrma.stanford.edu/~jos/mdft/，2007，在线图书，
可访问2011年9月28日。

#2 楼

有许多种插值数据的方法。我认为插值法意味着您在某些数据点之间“画线”。这可以通过多种方式完成。在DSP（特别是在多速率DSP）中有用的一种插值类型是“带限插值”。如果您用google搜索，将会获得许多有趣和有用的点击。您建议的不是带限插值。在“上采样” x中，原始x中不存在频率分量。

编辑（太长而无法放入评论）：

您的构造之间有很大的不同，以$ X = [A，B，C，D开头，E，F，G，H] $和您提供的参考中的示例。

考虑实际输入

$ X = [A，B，C，D， E，D ^ *，C ^ *，B ^ *] $

上采样为全频带输入的2倍。在这种情况下，可以通过在交织的输入中首先放置零来进行升采样（即$ x_0,0，x_1,0，... $。结果是信号的频谱中包含频谱的压缩版本）。 x（在$ 0- \ pi / 2 $范围内）和从$ \ pi / 2-\ pi $扩展的图像（仅考虑正频率轴）。如果x2是上采样版本，则

$ X2 = [A，B，C，D，E，D ^ *，C ^ *，B ^ *，A，B，C，D，E，D ^ *，C ^ *，B ^ *] $

在理想情况下，需要使用具有截止频率$ \ pi / 2 $的理想砖墙滤波器来去除图像，即（对于无限输入）

$ y_n = \ sum_ {k =-\ infty} ^ {\ infty} x2_k sinc（0.5n-k）$

实际上，虽然会有些失真，因为砖墙过滤器不是实际的滤波器可以抑制/消除输入中的频率，或者可以在上采样信号中保留图像中的某些频率分量，或者滤波器可以在两者之间做出折衷。 cy域的构建也反映了这种折衷。这两个示例代表两个不同的选择：

$ Y = [A，B，C，D，E，0,0,0,0,0,0,0,0，E ^ *，D ^ *，C ^ *，B ^ *] $

$ Y = [A，B，C，D，0,0,0,0,0,0,0,0,0，D ^ *，C ^ *，B ^ *] $

如果输入被限制为低于奈奎斯特频率，如您的参考文献所述，此问题将消失。

也许可以在下面找到$ \ rho $的值，这样一些误差函数，例如输入光谱和上采样输出光谱之间的平方误差最小。
$ Y = [A，B，C，D，\ rho，0,0,0,0,0,0,0，\ rho ^ *，D ^ *，C ^ *，B ^ *] $