需要一个可靠的来源来表示地球地平线的公式

我要的是什么

我强调我不是在寻求公式-我知道公式，以及如何得出公式。文章结尾附近转载了它的几个不同版本。实际上，其他人不仅已经派生了它，还很好地介绍了这里的派生之一。

我需要的是该公式的知名来源，例如，一个人可以在不违反其对原始研究报告的禁止的情况下，将其放到Wikipedia上。 [人们实际上已经尝试过...但是相关文章中有一些非常尽职的编辑，他们删除了该部分是基于其原始研究...而，不幸的是，该编辑器是正确的，因此尝试没有太多意义与之抗争。]

我在计算机图形学stackexchange中发布的原因

由于这里有人可能已经模拟了地球从轨道上看的样子，所以他或她可能知道此公式（或更可能是它的某种概括）是否已在某些书，杂志，会议记录，课堂笔记等中发布。

我已经做了“适当的谷歌搜索“

请理解，我并不是在要求任何人代表我去寻找答案。我已经做了很多谷歌搜索，并且只在这里发布了。我的希望（牵强）是这里的某人会马上知道参考。如果不是，那么，我希望至少您喜欢下面的漂亮图片（如果我自己这么说的话，我会以充分的意识与正在对计算机图形学感兴趣的人们交谈），然后再进行更大的改进事物。

两个接近的资源


D. K. Lynch，“从视觉上看清楚地球的曲率”，《应用光学》第一卷。 47，H39（2008）。它可以在这里免费获得。不幸的是，作者没有采取正确的方法（这并不难），而是选择了一种骇客，这（a）我并不完全理解，并且（b）与我所知道的不符。正确的公式。
R。 Hartley和A. Zisserman，《计算机视觉中的多视图几何》，第二版。 （剑桥大学出版社，英国剑桥，2004年）。在秒8.3，“投影相机对二次曲面的作用”，我们读为：


假设二次曲面是一个球体，则
相机中心和二次曲面之间的光线锥为右圆，即轮廓
生成器是一个圆，该圆的平面与连接相机中心和球体中心的
线正交。从几何学关于这条线的旋转对称性可以看出。
球的图像是通过将圆锥与图像平面相交而获得的。显然，这是经典的圆锥形截面，因此，球体的明显
轮廓是圆锥形。


原则上，这将是精确的如果仅包含更多信息，则需要什么--至少一个圆锥形的偏心度表达式，该表达式是到球体的距离和球体半径的函数（在像平面垂直于圆锥形的母线，例如针孔照相机对准地平线上的点时就是这种情况。

有关公式的详细信息，我需要为其提供学术参考

我们假设一个没有空气的完美球形，完美光滑的地球。我们将理想的针孔相机对准地平线，并使用简单的中央投影，计算相机背面的地平线图像的形状（即胶片在胶片上的形状-“胶片平面”） 。这是一个图形（用Asymptote制作，对那些感兴趣的人），这应该使它更清晰：



我们在上面看到的，地平线的图像是圆锥部分。令$ \ varepsilon $为圆锥体的离心率；我上面提到的推导使用参数$ k $，它只是反偏心率：$ k = 1 / \ varepsilon $。偏心率本身为$ \ varepsilon = 1 / \ sqrt {\ epsilon（2+ \ epsilon）} $，其中$ \ epsilon = h / R $是表面上针孔的高度$ h $的比率地球半径和地球半径$ R $。 [[而不是使用$ \ epsilon $，它是高度与$ R $的比率，而使用$ \ eta $，即针孔到地球中心的距离的比率$ h + R $，可能会有用。地球半径：$ \ eta =（R + h）/ R = 1 + \ epsilon $。就$ \ eta $而言，我们有$ \ varepsilon = 1 / \ sqrt {\ eta ^ {2} -1} $。]

距针孔的距离（点$ P $图）到胶片平面的长度为一个单位。

电影平面中的$ y $轴选择为与连接地球中心$ C $（图中未显示）和水平线上的点（图中标记为$ V $）的线平行。训练相机的方式因为线$ CV $必须平行于胶片平面，所以此选择定义明确。原因是$ CV $和胶片平面都垂直于视线$ PV $（连接$ P $和$ V $的线）。这是因为1.线$ PV $在$ V $处与地球相切，因此垂直于$ CV $，以及2. $ PV $垂直于胶片平面，因为相机在$ V $位置受训。 $ x $轴当然垂直于$ y $轴并且位于胶片平面中，并且选择原点作为点$ V $的投影。

这些定义在顺便说一下，我们准备写下圆锥截面的表示形式，即地球地平线的图像。这可以用多种方式编写，下面给出其中一些。我需要的是这些公式中的任何一个或等效于它们的公式的良好参考。

1。上面提到的推导中给出的显式公式

我上面提到的推导将其作为最终版本：

$ [\，y \，（1 / \ varepsilon- \ varepsilon）-1 \，] ^ {2} + x ^ {2}（1 / \ varepsilon ^ {2} -1）= 1. $

再用另外两个来表示方式。

2。以圆锥截面的典范方程表示的表达式

在这种情况下，该方程采用以下形式：

$ x ^ 2 = 2 \ mu y-（1 -\ varepsilon ^ {2}）y ^ 2 $，

其中，在我们的示例中为$ \ mu = \ varepsilon $。

规范形式的优点在于，它可以平等地处理所有圆锥曲线，特别是抛物线$ \ varepsilon = 1 $的情况。在``标准''公式中（见下文），抛物线的情况只能通过将限制$ \ varepsilon \设为1 $来处理。

详细信息：以上公式在右圆锥体的情况下成立，该圆锥体的侧面对着2°\ theta $的角，并与平面相交-距圆锥的顶点$ d $。相对于圆锥轴的角度\\ omega $。 （为澄清起见：$ d $是从圆锥顶点到椭圆上最接近圆锥顶点的点的距离；该点始终是椭圆长轴的一端之一）。在这种一般情况下，偏心率表示为$ \ varepsilon = \ cos \ omega / \ cos \ theta $，而$ \ mu = d（\ varepsilon- \ cos | \ omega + \ theta |）$。

就以上图形而言：$ d $是从$ P $到胶片平面的距离（即沿红色虚线的距离）； $ \ theta $是红色虚线和圆锥轴之间的角度（这是连接$ P $和地球中心的线-图形中标记为$ h $的黑色线的延伸） ;角度$ \ omega $是圆锥体的轴与影片平面之间的角度。

鉴于胶片平面垂直于红色虚线，我们有$ \ omega + \ theta = \ pi / 2 $;此外，我们取$ d = 1 $，然后将其合计为$ \ mu = \ varepsilon $。

3。用圆锥截面的``标准形式''表示

这种形式也许是最熟悉的形式：

$ \ frac {（x-x_ {0}） ^ {2}} {p ^ 2} + \ frac {（y-y_ {0}）^ {2}} {q ^ 2} = 1 $。

它与参数有关输入规范方程式（请参见上面的2.），如下所示：

$ x_ {0} = 0 $;

$ y_ {0} = q = \ frac { \ mu} {1- \ varepsilon ^ {2}} $（在我们的示例中为$ \ frac {\ varepsilon} {1- \ varepsilon ^ {2}} $-请注意，紧跟着$ y_ {0} = q $椭圆穿过原点）;和

$ p = q \ smash [b] {\ sqrt {| 1- \ varepsilon ^ {2} |}} = \ frac {\ mu} {\ smash [b] {\ sqrt {| 1- \ varepsilon ^ {2} |}}} $$（这是$ \ frac {\ varepsilon} {\ smash [b] {\ sqrt {| 1- \ varepsilon ^ {2} |}}}} $我们的案例）。

显然，抛物线情况$ \ varepsilon = 1 $会产生问题。如上所述，必须通过将$ \ varepsilon \限制为1 $来处理这种情况。

4。用参数曲线表示

$ x = \ frac {（\ epsilon + 1）\ cos（\ alpha）} {\ sin（\ alpha）+ \ epsilon（\ epsilon + 2） } $

$ y = \ frac {\ sqrt {\ epsilon（\ epsilon + 2）}（\ sin（\ alpha）-1）} {\ sin（\ alpha）+ \ epsilon（ \ epsilon + 2）}，$

其中$ \ alpha $是地平线上某点的经度，定义为$ \ alpha = \ pi / 2 $对应于点$ V $在上图中（即到训练针孔照相机的位置）。

有关如何使用这些公式的信息，请参见此。

结论...

是否有人在模拟地球从太空中看起来如何的情况下，在一些著名的来源中看到了上述公式？如果是这样，您能告诉我这个消息是什么吗？

谢谢！