是否可以将3d旋转矩阵（4x4）转换为其组成部分（旋转，比例等）？

#1 楼

您可以将矩阵$ \ mathbf {M} = \ mathbf {TRS} $分解为基本转换：平移，缩放和旋转。给定此矩阵：

$$ \ mathbf {M} = \ begin {bmatrix}
a_ {00}和a_ {01}＆a_ {02}和a_ {03} \\
a_ {10}和a_ {11}和a_ {12}和a_ {13} \\
a_ {20}和a_ {21}和a_ {22}和a_ {23} \\
0＆0＆0＆1
\ end {bmatrix} $$

您可以使用最后一列$ \ mathbf {t} =（a_ {03}，a_ {13}，a_ {23}）$。

对于缩放，我们知道矩阵的前三列对应于基数（轴）。我们可以通过这些向量的长度/范数来获得比例，即缩放了多少个碱基。因此小数位数是$ \ mathbf {s} =（s_0，s_1，s_2）$，其中：

$$ \ begin {matrix}
\ end {matrix} $$

现在有了标度，您可以通过将矩阵乘以标度$ \ mathbf {S} ^的倒数，使用​​与$ \ mathbf {RS} $对应的$ 3 \乘以3 $子矩阵来摆脱标度。 {-1} $获得$ \ mathbf {R} $

$$ \ begin {align}
\ mathbf {（RS）S} ^ {-1}＆=
\开始{bmatrix}
a_ {00}和a_ {01}和a_ {02} \\
a_ {10}和a_ {11}和a_ {12} \\
a_ {20}和a_ {21}和a_ {22} \\
\ end {bmatrix}
\ begin {bmatrix}
s_0＆0和0 \\
0＆s_1＆0 \\
0＆0＆s_2
\ end {bmatrix} ^ {-1} \\
＆=
\ begin {bmatrix}
a_ {00}和a_ {01}和a_ {02} \\
a_ {10}和a_ {11}和a_ {12} \\
a_ {20}和a_ {21} ＆a_ {22} \\
\ end {bmatrix}
1 / s_0＆0＆0 \\
0＆1 / s_1＆0 \ \
0＆0＆1 / s_2
\ end {bmatrix}
\ end {align} $$

因此（$ \ mathbf {（RS）S} ^ { -1} = \ mathbf {RI} = \ mathbf {R} $）：

$$ \ mathbf {R} =
\ begin {bmatrix}
a_ {00} / s_0和a_ {01} / s_1和a_ {02} / s_2 \\
a_ {10} / s_0和a_ {11} / s_1和a_ {12} / s_2 \\
a_ {20} / s_0和a_ {21} / s_1和a_ {22} / s_2 \\
\ end {bmatrix} $$

这是最终的旋转矩阵。您可以使用多种方法进一步分解它。它很冗长，但是您可以搜索分解旋转矩阵。


此方法仅提供平移，缩放和旋转形式的等效值（原始矩阵可能是其他类型的转换）。如果您进一步使用分解角度，则旋转角度的浮点精度可能会出现问题，在计算中可能会累积舍入误差。除非您自己没有构造矩阵，否则不要使用它。

如果您是构造矩阵并希望分解以便能够单独和独立地编辑和显示平移，缩放和旋转的人，那么最干净的原因可能是存储变换类中的$ \ mathbf {t} $，$ \ mathbf {s} $和$ \ mathbf {r} $分别作为矢量（可能是旋转的四元数）。仅在需要转换矩阵时，才从这些组件构造一个$ \ mathbf {TRS} $矩阵（您可以缓存该矩阵，直到某些组件被更改为止）。