我想我不理解是，自相关与计算PSD有什么关系？我以为PSD就是$ P（t）$的傅立叶变换（其中$ P（t）$是信号相对于时间的力量）。
#1 楼
没错，PSD与计算信号功率的傅立叶变换有关，并猜测它的作用。但是首先让我们看一下PSD和自相关函数之间的数学关系。符号：
$$ \ mathcal {F} [x（t）] = X（\ omega）= \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} x（t）e ^ {-j \ omega t} dt $$
（时间）自相关函数：
$$ R（\ tau）= x（\ tau）* x（-\ tau）= \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} x（t）x（t + \ tau）dt $$
$$ \ mathcal {F} [R（\ tau）] = \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} R（\ tau）e ^ {-j \ omega \ tau} d \ tau $$
$$ = \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} x（t）x（t + \ tau）e ^ { -j \ omega \ tau} dtd \ tau $$
$$ = \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} x（t）\ underbrace {\ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} x（t + \ tau）e ^ {-j \ omega \ tau} d \ tau} _ {\ mathcal {F} [x（t + \ tau）] = X（\ omega）e ^ {j \ omega t }} dt $$
$$ = X（\ omega）{\ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} x（t）e ^ {j \ omega t} dt} $$
$$ = X（\ omega）X ^ *（\ omega）= | X（\ omega）| ^ 2 $$
这是什么意思？
注意：这种解释有点“ hacky”。但是在这里
傅立叶变换告诉我们信号的频谱分量。在我们的例子中，信号是随机的；因此，尝试计算信号的频谱分量将毫无意义，因为对于随机过程的每一次实现，您都会有$ \ mathcal {F} [x（t）] $的不同表达式。
如果您采用傅立叶变换的期望值呢？这行不通。让我们以零均值信号为例。
$$ \ mathbb {E} \ {\ mathcal {F} [x（t）] \} = \ mathcal {F} [\ mathbb {E} \ {x（t）\} ] = 0 $$
相反，如果对信号平方进行傅立叶变换，该怎么办。
$$ \ mathbb {E} \ {\ mathcal {F} [x ^ 2（t）] \} = \ mathcal {F} [\ underbrace {\ mathbb {E} \ {x ^ 2（t）\}} _ {\ text {Av。信号的力量}}] $$
自相关函数本质上就是您所暗示的$ P（t）$。
参考文献：
[1]通讯1，PL。 Dragotti，伦敦帝国理工学院
[2]白噪声和估计，F。Tobar [未发表的报告]
评论
$ \ begingroup $
很棒的解释！一个小的演算问题-仅因为它们的限制都在-$ \ infty $到+ $ \ infty $之内，您才能在双积分中交换$ dt $和$ d \ tau $吗？
$ \ endgroup $
–太空
13年3月12日，1：15
$ \ begingroup $
是的，没错。
$ \ endgroup $
–ssk08
13年3月12日在1:30
$ \ begingroup $
好的，我认为我明白了。我可以看到傅立叶变换与自相关的关系。不过，我不太了解，对$ x（t）$或$ x ^ 2（t）$进行傅立叶变换是什么问题。我真的不明白为什么需要采用期望值（我知道它是平均值，但是我不知道为什么这样做是必要的），我也不真正理解“随机化的每次实现”的含义。过程中，您将使用不同的表达方式。如果您能详细说明，那就太好了！感谢您的时间！
$ \ endgroup $
–user968243
2013年3月12日13:17
$ \ begingroup $
@ user968243至于“每次实现”部分，请这样考虑：您要为其找到PSD的原始信号（比如说长度$ N $）是一个随机向量。因此它是具有$ N $分量的向量。现在，由于这是一个随机向量，因此每次“掷骰子”时，其成分都会获得不同的值。一种可能是[3 4 1 9 ...]。另一种可能是[2.9 4.2 1.1 9.02 ...]。这就是他说的意思：“对于随机过程的每一个实现，（您的向量），您都会得到不同的表达式”（傅立叶变换。有意义吗？
$ \ endgroup $
–太空
2013年3月12日14:57在
$ \ begingroup $
@Mohammad完美地总结了这一点。
$ \ endgroup $
–ssk08
13年3月12日在15:57
#2 楼
很好的推导，但我认为您可以更轻松地做到这一点自动相关$ r（t）= x（t）* x（-t）$，这是信号与时间翻转自身的卷积。
时域中的卷积是频域中的乘法。
时域中的时间翻转在频域中是“复共轭”。
因此，我们得到$$ R（\ omega）= \ mathcal {F} \ {r（t）\} = \ mathcal {F} \ {x（t）\} \ mathcal {F} \ {x（ -t）\} = X（\ omega）X ^ *（\ omega）= | X（\ omega）| ^ 2 = PSD $$
评论
$ \ begingroup $
自相关不是信号的卷积与它的复共轭，时间翻转自身的关系吗？
$ \ endgroup $
–吉姆·克莱（Jim Clay）
2013年3月12日13:47
$ \ begingroup $
我认为他假设信号是真实的。
$ \ endgroup $
–ssk08
2013年3月12日14:45在
$ \ begingroup $
@Jim＆ssk08：你们俩都是正确的。感谢清理方程式。
$ \ endgroup $
–希尔马
13年12月12日在15:04
评论
如何定义$ P（t）$？我并没有真正将其定义为任何东西。这只是一些电源信号。我想如果我必须定义它，那就是$ P（t）= v（t）\ cdot i（t）$ ...我想说的是PSD不是$ \ mathcal {F} \ {P（t）\} $，它与自相关有关，我什么也没得到...
您不能真正为任意信号定义这样的功率。没有电压和电流概念。在这种情况下，功率定义为波的功率（如果需要，可以定义为电磁功率）。因此，它是$ \ frac {1} {T} \ int_0 ^ Tx ^ 2（t）dt $，它是一个数字，而不是随时间变化的数量。
阅读有关Wiener-Khinchin定理的信息。您拒绝理解声子向您指出的是，您正在计算的极限是一个常数，因此它的傅里叶变换只是在频域中$ f = 0 $的脉冲。如果那使您的船浮起来，那就去吧，但这不是其他人都理解的功率谱密度。
我已经读过该定理...而且我了解了它如何将傅立叶变换与自相关联系起来。而且我不拒绝理解声子所说的...我完全理解@声子所说的。我不明白的是为什么要使用自相关公式，我也不明白为什么要使用傅立叶变换方式（要获得PSD，您可以进行傅立叶变换，取其大小，对其进行平方等）。 ...我不知道为什么这样做会产生PSD，而我却找不到合适的派生类。