为什么FFT的实部将图像转换为旋转+原始图像？

imfft = fft2(photographer);
im = uint8(ifft2(imfft));

imshow(im); %Output is same image

imfft = real(fft2(photographer));
im = uint8(ifft2(imfft));
imshow(im);

#1 楼

假设您的图片是由$ I（x，y）$给出的。然后通过
$$
I ^ f（\ omega_x，\ omega_y）= \ int_x \ int_yI（x，y）e ^ {j \ omega_xx} e ^ {j \ omega_yy } dxdy
$$

现在，您要真正参与并执行相反的操作：

\ begin {align}
I_m（\ alpha，\ beta）＆= \ int _ {\ omega_x} \ int _ {\ omega_y} \ Re \ left \ {I ^ f（\ omega_x，\ omega_y）\ right \} e ^ {j \ omega_x \ alpha} e ^ {j \ omega_y \ beta} d \ omega_xd \ omega_y
\\
＆= \ int _ {\ omega_x} \ int _ {\ omega_y} \ Re \ left \ {\ int_x \ int_yI（x，y）e ^ {j \ omega_xx} e ^ {j \ omega_yy} dxdy \ right \} e ^ {j \ omega_x \ alpha} e ^ {j \ omega_y \ beta} d \ omega_xd \ omega_y \\
＆= \ int_x \ int_yI（x，y）\ int _ {\ omega_x} \ int _ {\ omega_y} \ Re \ left \ {e ^ {j \ omega_xx} e ^ {j \ omega_yy} \ right \} e ^ {j \ omega_x \ alpha} e ^ {j \ omega_y \ beta} d \ omega_xd \ omega_ydxdy
\ end {align}

您可以清楚地看到，内部积分是
$$
\ cos（\ omega_xx）\ cos（\ omega_yy）+ \ sin（\ omega_xx）\ sin（\ omega_yy）
$$

$$
\ frac {1} {2} \ left [\ delta（x- \ alpha）\ delta（y- \ beta）+ \ delta（x + \ alpha）\ de lta（y + \ beta）\ right]
$$

将结果替换为$ I_m $将产生
$$
I_m（x，y）= \ frac {1} {2} \ left [I（x，y）+ I（-x，-y）\ right]
$$

当然是您的情况$ x，y > 0 $，但是离散傅里叶变换假设您的信号是$ N $-周期，并且您得到
$$
I_m（x，y）= \ frac {1} {2} \ left [I （x，y）+ I（Nx，My）\ right]
$$
其中$ N，M $是图像的尺寸。我想您现在可以明白为什么会得到这样的结果。

#2 楼

ThP提供的结果也可以用非常简单的术语表示：如果您有一个纯实数据集，其（逆）傅立叶变换将具有厄米对称性：如果在位置$（x，y处找到值$ z $ ）$，则您将在原点附近的点反射位置$（-x，-y）$处找到复共轭值$ z ^ * $。注意这里的原点将是傅立叶空间的中心。当然，如果DC分量不在FFT实施的中心，则可以重新设定。这就是您在图像中看到的：点反射版本覆盖了真实图像-因为您强制对一个空间进行了实数估值。

此属性实际上用于加速磁共振成像（MRI）在某些情况下：MRI直接在傅立叶空间中获取数据。由于理想的MR图像只能用实数值来描述（所有激发的磁化矢量的相位均为0），因此您只需要获取一半的数据空间，就可以节省一半的成像时间。当然，由于现实的局限性，MR图像并不是完全真实的价值……但是通过一些技巧，您仍然可以有利地使用此技术。