BRDF为什么不是辐射率的比例？

#1 楼

有两种方法可以回答这个问题：代数方法和几何方法。经典的渲染公式为：

$$ L_ \ text {outgoing}（\ omega）= L_ \ text {emitted}（\ omega）+ \ int_ \ Omega L_ \ text {incoming}（\ omega'）\，f_ \ text {BRDF}（\ omega，\ omega'）\，（n \ cdot \ omega'）\，d \ omega'$$

输出值left是一个辐射度，因此积分的结果也必须是一个辐射度。被积分体包含一个辐射度乘以一个立体角$ d \ omega'$，因此被积分体中的其他东西必须抵消该立体角因子。 $ n \ cdot \ omega'$因子是无量纲的，唯一的其他东西就是BRDF，因此，要使整个过程变得可行，BRDF必须具有反立体角单位。等效地，BRDF可以看作是辐射度与辐照度的比率，因为它们在辐射度分母中相差一个立体角。

另一种看待方式是BRDF发挥了作用类似于概率密度。如果您查看概率密度的工作原理，则它们的单位与其域的体积成反比。例如，一维概率密度的单位是反长度（单位长度的概率，但是概率本身是无量纲的），二维维密度的单位是反面积的单位，依此类推。 BRDF的作用与半球上定义的概率密度非常相似，从而使从给定方向入射的光子有可能被反射到其他方向。因此，就像球面域上的任何其他概率密度一样，它具有反立体角的单位。

从几何学上讲，我们可以深入了解黄铜大头钉，并分解渲染方程式积分中发生的事情。回想一下，积分是指将域细分为小块，并对所有块求和（在极限情况下，当块变得无限小时）。让我们看一个这样的作品。由于我们要累加许多部分以得出有限的输出辐射，因此被积函数应产生无限量的辐射$ dL $。因此，积分的一个无穷小部分看起来像：

$$ dL = L_ \ text {incoming} \，f_ \ text {BRDF} \，（n \ cdot \ omega'）\，d \ omega'$$

如果稍微重新组合因素，则$ L_ \ text {incoming} \，（n \ cdot \ omega'）\，d \ omega'$的组合将计算辐照度由于来自无限微小立体角$ d \ omega'$的光在表面上的反射。由于它是从无穷大的立体角到达的，因此会产生无穷小的辐照度$ dE $。

$$ dL = f_ \ text {BRDF} \，dE $$

或

$$ f_ \ text {BRDF} = \ frac {dL} {dE} $$

因此，BRDF在无限小辐照度到从表面以无限的立体角入射，并由此产生无限的向外辐射。它不可能是辐射的比率，因为我们有一个有限的入射辐射，并且如果我们想对积分的许多部分求和并得到有限的结果，则需要一个无限小的向外辐射。为此，BRDF必须是无穷小值，在标准数学中这不是问题。 :)

我希望其中的一些帮助。有许多等效的方法可以解决此问题，就像在数学和物理学中一样。