频域互相关的直观解释

#1 楼

该概念基于卷积定理，该定理表明对于两个信号$ x（t）$和$ y（t）$，它们的傅里叶变换$ X（f）$和$ Y（f）$的乘积相等对两个信号的卷积进行傅立叶变换。即：

$$
\ mathcal {F} \ {x（t）* y（t）\} = \ mathcal {F} \ {x（t）\} \ mathcal {F} \ {y（t）\}
$$

您可以在上面的Wikipedia链接上了解有关该定理推导的更多信息。现在，卷积本身对线性系统来说是非常重要的运算，因此关于其性质的理论已经得到很好的发展。

但是，您要查找的是$ x（t）$和$ y（t）$之间的互相关。这是关键：如果输入信号之一是共轭的并且经过时间反转，那么互相关积分就等于卷积积分。这样，您就可以利用为评估卷积而开发的理论（例如用于快速计算卷积的频域技术）并将其应用于相关。

在您的示例中，您将计算以下内容：

$$
\ mathcal {F} \ {x（t）\} \ left（\ mathcal {F} \ {y（t）\} \ right）^ *
$$

回想一下，在傅立叶域中，复共轭等效于时域中的时间反转（这直接源自傅立叶变换的定义）。因此，使用上面给出的第一个方程，我们可以说：

$$
\ mathcal {F} \ {x（t）* y ^ *（-t）\} = \ mathcal {F} \ {x（t）\} \ left（\ mathcal {F} \ {y（t）\} \ right）^ *
$$

如果然后对该方程进行傅立叶逆变换，剩下的信号就是$ x（t）$和$ y（t）$之间的互相关。

#2 楼

% Matlab function for frequency domain cross correlation
function [Lag,C]=xcorrf(X,Y,L)
% X, Y ---> Input vectors 
% L --->  maximum lag (must be less than minimum of (length of X, Y)
% C ---> correlation vector
% Lag ---> lag times  
X=X(:);
Y=Y(:);
s1=size(X);
s2=size(Y);
D=min(s1(1,1),s2(1,1));
for i=1:L
    X1=ifft(fft(X(1:D-i,:)).*conj(fft(Y(i+1:D,1))));
    C(i,1)=X1(1,1);
end

C=flipud(C);
X1=ifft(fft(X(1:D,:)).*conj(fft(Y(1:D,1))));
C(L+1,1)=X1(1,1);
for i=1:L
    X1=ifft(fft(Y(1:D-i,:)).*conj(fft(X(i+1:D,1))));
    C(i+L+1,1)=X1(1,1);
end
Lag=-L:1:L;
end