我们什么时候可以将海森堡不确定性原理写成平等？

#1 楼

在讨论不确定性原理的任何特殊形式之前，定义信号的时间和频率宽度$ \ Delta_t $和$ \ Delta _ {\ omega} $很重要。这些数量没有唯一的定义。通过适当的定义，可以证明只有高斯信号具有满足相等性的不确定性原理。

通过傅立叶变换$ F（\ omega）$考虑信号$ f（t）$满足

$$ \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} f ^ 2（t）dt = 1 \ quad \ textrm {（单位能量）} \\
\ int _ {-\ infty } ^ {\ infty} t | f（t）| ^ 2dt = 0 \ quad \ textrm {（以} t = 0为中心）\\
\ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} \ omega | F（\ omega）| ^ 2d \ omega = 0 \ quad \ textrm {（以} \ omega = 0为中心）$$

这些条件实际上都不是限制。通过适当的缩放，转换和调制，它们都可以满足（对于具有有限能量的信号）。

如果我们现在按如下方式定义时间和频率宽度
$$ \ Delta_t ^ 2 = \ int _ {-\ infty} ^ {\ infty} t ^ 2 | f（t）| ^ 2dt \\
\ Delta _ {\ omega} ^ 2 = \ int _ {-\ infty} ^ { \ infty} \ omega ^ 2 | F（\ omega）| ^ 2d \ omega $$

，然后不确定性原理表明

$$ \ Delta_t ^ 2 \ Delta_ {\ omega} ^ 2 \ ge \ frac {\ pi} {2} \ tag {2.6.2} $$

（如果$ f（t）$的消失速度快于$ 1 / \ sqrt { t} $代表$ t \ rightarrow \ pm \ infty $）

其中不等式满足高斯信号的相等性

$$ f（t）= \ sqrt {\ frac {\ alpha} {\ pi}} e ^ {-\ alpha t ^ 2} \ tag {2.6.3} $$

上面的等式编号对应于下面的证明，即来自Vetterli和Kovacevic的小波和子带编码（p.80）：

#2 楼

我不能给您提供这背后的所有理论（因为它确实填满了书本），但事实证明，海森堡恰恰恰好就是这一系列信号的完全平等：

$$ s_ {t_0，\ omega_0 ，\ sigma，\ phi，\ gamma}（t）= \ exp \ left（-\ left（\ frac {t-t_0} {\ sigma} \ right）^ 2 + i \ left（\ phi + \ omega_0（ t-t_0）+ \ gamma（t-t_0）^ 2 \ right）\ right）$$

其中所有参数均为实数。该族由单个Gabor原子在时间-频率上的二次辛同态生成。这些辛同态保留了海森堡不确定性关系。

编辑：让我更精确地说明这一点，实际上也更正确。我在上面给出的信号使时频区域最小，但没有使时频不确定性乘积最小。如果您想要最小的$ \ Delta F \ cdot \ Delta T $，那么上面的$ \ gamma $必须消失。

但是，可以将时间频率区域的概念推广到测量与时间和频率轴不对齐的形状的区域。这意味着我们将测量F和T跨越的任何两个共轭变量的最小不确定性乘积，而不是F和T之间的乘积。我将为您提供详细信息，但是对于时频区域的定义，信号族给出了您最少。

#3 楼

不确定性原则为解析设置了理论界限，因此永远不会将其写为等式。

您遇到的等式关系是针对特定分析上下文和分析实现的。在这种情况下，上下文是信号分析，因此时间/频率是感兴趣的共轭变量，而实现是使用中的特定小波。

等式关系提供了一种比较不同分析实现中的分辨率的方法。在解释这些关系时必须小心，因为解决方案的定义不应该，但是可能会有所不同。

一旦定义了两件事，等式关系就适用：
1）分辨率的数学含义。
2）分析方法（在这种情况下，选择小波） ）。