DFT为什么假定变换后的信号是周期性的？

#1 楼

已经有一些不错的答案，但是我仍然想添加另一个解释，因为我认为该主题对于理解数字信号处理的许多方面极为重要。

首先，了解DFT不会“假定”要转换信号的周期性。 DFT仅应用于长度为$ N $的有限信号，并且相应的DFT系数由

$$ X [k] = \ sum_ {n = 0} ^ {N-1}定义。 x [n] e ^ {-j2 \ pi nk / N}，\ quad k = 0,1，\ ldots，N-1 \ tag {1} $$

从（1）很明显，只考虑了区间$ [0，N-1] $中$ x [n] $的样本，因此没有假定周期性。另一方面，系数$ X [k] $可以解释为信号$ x [n] $的周期性延续的傅立叶系数。可以从逆变换中看到

$$ x [n] = \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} X [k] e ^ {j2 \ pi nk / N} \ tag {2} $$

它可以在$ [0，N-1] $间隔内正确计算$ x [n] $，但是它也可以在此间隔之外计算其周期性连续，因为右（2）的手侧是周期为$ N $的周期。此属性是DFT定义中固有的，但是它不必打扰我们，因为通常我们只对$ [0，N-1] $区间感兴趣。

考虑$的DTFT x [n] $

$$ X（\ omega）= \ sum_ {n =-\ infty} ^ {\ infty} x [n] e ^ {-jn \ omega} \ tag { 3} $$

通过比较（3）与（1）可以看出，如果$ x [n] $是区间$ [0，N-1] $的有限序列， DFT系数$ X [k] $是DTFT $ X（\ omega）$的样本：

$$ X [k] = X（2 \ pi k / N）\ tag {4 } $$

因此DFT的一种用途（但肯定不是唯一的一种用途）是计算DTFT的样本。但这仅在要分析的信号具有有限长度时才有效。通常，此有限长度信号是通过加窗较长的信号来构造的。而正是这种加窗导致光谱泄漏。

最后，请注意，可以用$ x [n] $的DFT系数表示有限序列$ x [n] $的周期性连续$ \ tilde {x} [n] $的DTFT：

$$ \ tilde {x} [n] = \ sum_ {k =-\ infty} ^ {\ infty} x [n-kN] \ tag {5} $$
$$ \ tilde {X}（\ omega）= \ frac {2 \ pi} {N} \ sum_ {k =-\ infty} ^ {\ infty} X [k] \ delta（\ omega-2 \ pi k / N）\ tag {6} $$

编辑：以上给出的$ \ tilde {x} [n] $和$ \ tilde {X}（\ omega）$是DTFT的事实变换对可以如下所示。首先请注意，离散时间脉冲梳的DTFT是Dirac梳：

$$ \ sum_ {k =-\ infty} ^ {\ infty} \ delta [n-kN] \ Longleftrightarrow \ frac {2 \ pi} {N} \ sum_ {k =-\ infty} ^ {\ infty} \ delta（\ omega-2 \ pi k / N）\ tag {7} $$

序列$ \ tilde {x} [n] $可以写成$ x [n] $与脉冲梳的卷积：

$$ \ tilde {x} [n] = x [n] \ star \ sum_ {k =-\ infty} ^ {\ infty} \ delta [n-kN] \ tag {8} $$

因为卷积对应于DTFT中的乘法域中，$ \ tilde {x} [n] $的DTFT $ \ tilde {X}（\ omega）$是用Dirac梳子乘以$ X（\ omega）$得出的：

$$ \开始{align} \ tilde {X}（\ omega）＆= X（\ omega）\ cdot \ frac {2 \ pi} {N} \ sum_ {k =-\ infty} ^ {\ infty } \ delta（\ omega-2 \ pi k / N）\\＆= \ frac {2 \ pi} {N} \ sum_ {k =-\ infty} ^ {\ infty} X（2 \ pi k / N ）\ delta（\ omega-2 \ pi k / N）\ end {align} \ tag {9} $$

将$（9）$与$（4）$组合会建立结果$ （6）$。

#2 楼

它来自时域信号的定义：

$$ x \ left [n \ right] = \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} X \ left [k \ right ] {e} ^ {\ frac {2 \ pi ink} {N}} $$

根据定义，您可以看到$ x \ left [n \ right] = x \ left [n + N \ right] $。
另一方面，DFT完美地重构了信号的N个采样。
因此，您可以得出结论，它假定它是周期连续的。观点将DFT视为有限离散傅立叶级数（实际上是看看离散傅立叶级数-DFS），这当然表明信号是周期性的（周期为T T $的信号的有限总和）是周期为$ T $）的信号。

#3 楼

这是不必要（通常​​是错误的）的假设。 DFT只是有限矢量的基础变换。

DFT的基向量恰好是无限可扩展的周期函数的片段。但是，除非您将基本矢量扩展到DFT孔径之外，否则DFT输入或结果没有固有的周期性。许多形式的信号分析不需要在采样窗口或有限数据矢量之外进行任何扩展或假设。

也可以假定任何“泄漏”伪像来自默认矩形窗口与非周期性或未知周期性或平稳性的信号。当分析重叠的FFT窗口时，这更有意义，因为在任何一个DFT或FFT窗口之外的任何周期性假设都可能与其他窗口中的数据不一致。

周期性可能使与DFT相关的数学成为可能使DTFT更易处理。但是，在实际使用FFT进行信号处理时，与DTFT的任何关系可能是必需的，也可能不是必需的（具体取决于进一步分析处理方法所需的傅立叶变换属性）。

#4 楼

好的，我的答案将与其他答案有所不同。我的回答接受问题的前提，而不是拒绝问题的前提。

DFT“假定”输入信号（要转换的信号的原因，我认为OP的含义是： “转换后的信号”是周期性的，是因为DFT将基本函数的集合拟合到该输入信号，而这些输入都是周期性的。

考虑一组不同的基本函数：

$$ g_k（u）\ triangleq u ^ k \ quad \ quad 0 \ le k
并给出$ N $输入样本：

$ $ x [n] \ quad \ quad 0 \ le n
我们可以将这些基函数$ g_k（n）$的线性和拟合到输入序列中

$$ \ begin {align}
x [n]＆= \ sum \ limits_ {k = 0} ^ {N-1} X [k] g_k（n）\\
＆ = \ sum \ limits_ {k = 0} ^ {N-1} X [k] n ^ k \\
\ end {align} $$

明智地选择系数$ X [k] $。计算所有$ X [k] $要求使用$ N $未知数求解$ N $线性方程。您可以使用高斯消去法来实现。

将$ X [k] $的$ N $正确值为$ 0 \ le k \ le N-1 $，我们可以确保总和这些幂函数（是一个（（N-1）$$阶次多项式））将对每个$ n $精确求和为$ x [n] $，使得$ 0 \ le n \ le N-1 $。 />
现在，如果您使用该总和超出$ 0 \ le n \ le N-1 $的间隔，该怎么办？您可以评估任何$ n $。您会注意到该函数的行为将是$（N-1）$阶多项式的行为，因为事实就是如此。对于足够大的$ n $，只有具有非零系数的最高幂才能确定外推$ x [n] $的趋势。

因此，现在使用DFT我们可以拟合出不同的输入序列的基础函数集：

$$ g_k（u）\ triangleq \ frac {1} {N} e ^ {+ j 2 \ pi ku / N} \ quad \ quad 0 \ le k
$$ \ begin {align}
x [n]＆= \ sum \ limits_ {k = 0} ^ {N-1} X [k ] g_k（n）\\
＆= \ frac {1} {N} \ sum \ limits_ {k = 0} ^ {N-1} X [k] e ^ {+ j2 \ pi nk / N} \\
\ end {align } $$

系数$ X [k] $可以求解，并且为：

$$ X [k] = \ sum \ limits ^ { N-1} _ {n = 0} x [n] \ e ^ {-j2 \ pi nk / N} $$

该$ \ frac {1} {N} $的位置是惯例问题。我把它放在大多数文献都把$ \ frac {1} {N} $因素考虑在内的地方。可以将其从$ x [n] $等式中删除，然后放入$ X [k] $等式中。或其中的一半（$ \ sqrt {\ frac {1} {N}} $）可以与两个方程一起放置。

，但是在这里，我们将一组周期为$ N $的基本函数拟合为原始$ x [n] $。因此，即使$ x [n] $来自更长的序列不是周期性的，DFT也会考虑$ x [n] $是一堆基础函数的和，每个基础函数都是周期性的，周期为N $。如果您将一堆周期函数加起来，且周期函数都相同，则总和也必须是周期相同的周期函数。

评论

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$ \ begingroup $
有点争论，我对DFT不一定会定期扩展传递给它的数据的观点表示怀疑，请看一下我以前的回答。我不想在这里重复。
$ \ endgroup $
–罗伯特·布里斯托-约翰逊
2015年2月27日在4:44

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#5 楼

DFT是离散的。 DTFT是连续的。我们可以通过使用正确周期的脉冲序列对DTFT进行采样来从DTFT中获得DFT，这实际上等于将其乘以脉冲序列。变换域中的乘法等于离散时域中的卷积，这意味着信号的周期性。

#6 楼

由于离散域在两个域中都存在周期性假设，因此仅DFT在离散数字世界中是可行的。 （如果您这样称呼它。）
因为一个域上的非周期性信号会导致另一个域上的连续信号，所以您只能将离散信号存储在数字存储器中。因此，您需要假设信号在两个域上都是周期性的，以使其在两个域上都是离散的。
当您计算DTFT时，您会在频域中获得连续的信号作为输出。
我认为您不会在实际计算DFT时，请使用相同的步骤。实际计算DTFT和DFT时，您将了解到两种转换计算都是不同的故事。

#7 楼

由于信号是周期性的，因此时移信号不会改变频域的绝对幅度。

$$ X \ left [k \ right] = \ sum_ {k = 0} ^ { N-1} x \ left [n \ right] {e} ^ {\ frac {2 \ pi ink} {N}} $$

$$ {e} ^ {\ frac {- 2 \ pi i D k} {N}} X \ left [k \ right] = \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} x \ left [n-D \ right] {e} ^ {\ frac {2 \ pi ink} {N}} {e} ^ {\ frac {-2 \ pi i D k} {N}} $$

顺便说一句，没有什么可以阻止您对非周期性信号进行FFT，但如果没有任何一种转换有效，则几乎没有实际用途。